Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R.$ Hình nón $\left( N \right)$ thay đổi có đỉnh và đường kính đáy nằm trên mặt cầu $\left( S \right).$ Thể tích lớn nhất của khối nón $\left( N \right)$ là:
A. $\dfrac{32{{R}^{3}}}{27}$
B. $\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{27}$
C. $\dfrac{32{{R}^{3}}}{81}$
D. $\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{81}$
A. $\dfrac{32{{R}^{3}}}{27}$
B. $\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{27}$
C. $\dfrac{32{{R}^{3}}}{81}$
D. $\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{81}$
Phương pháp:
- Gọi $h$ là chiều cao của hình nón, $r$ là bán kính đường tròn đáy của hình nón. Sử dụng định lí Pytago biểu diễn $r$ theo $h,R.$
- Thể tích khối nón có chiều cao $h,$ bán kính đáy $r$ là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h.$
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của thể tích.
Cách giải:
Gọi $h$ là chiều cao của hình nón. Để thể tích khối nón là lớn nhất thì hiển nhiên $h>R.$
Gọi $r$ là bán kính đường tròn đáy của hình nón.
Ta có $IH=SH-SI=h-R.$
Áp dụng định lí Pytago ta có $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( h-R \right)}^{2}}}=\sqrt{2hR-{{h}^{2}}}$.
$\Rightarrow $ Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi \left( 2hR-{{h}^{2}} \right).h=\dfrac{\pi }{3}\left( 2R{{h}^{2}}-{{h}^{3}} \right).$
Xét hàm số $f\left( h \right)=-{{h}^{3}}+2R{{h}^{2}}$ với $h>R$ ta có $f'\left( h \right)=-3{{h}^{2}}+4Rh=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=0\left( ktm \right) \\
& h=\dfrac{4R}{3}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow {{V}_{max}}=\dfrac{\pi }{3}.f\left( \dfrac{4R}{3} \right)=\dfrac{\pi }{3}.\left( 2R.\dfrac{16{{R}^{2}}}{9}-\dfrac{64{{R}^{3}}}{27} \right)=\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{81}.$
- Gọi $h$ là chiều cao của hình nón, $r$ là bán kính đường tròn đáy của hình nón. Sử dụng định lí Pytago biểu diễn $r$ theo $h,R.$
- Thể tích khối nón có chiều cao $h,$ bán kính đáy $r$ là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h.$
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của thể tích.
Cách giải:
Gọi $h$ là chiều cao của hình nón. Để thể tích khối nón là lớn nhất thì hiển nhiên $h>R.$
Gọi $r$ là bán kính đường tròn đáy của hình nón.
Ta có $IH=SH-SI=h-R.$
Áp dụng định lí Pytago ta có $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( h-R \right)}^{2}}}=\sqrt{2hR-{{h}^{2}}}$.
$\Rightarrow $ Thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi \left( 2hR-{{h}^{2}} \right).h=\dfrac{\pi }{3}\left( 2R{{h}^{2}}-{{h}^{3}} \right).$
Xét hàm số $f\left( h \right)=-{{h}^{3}}+2R{{h}^{2}}$ với $h>R$ ta có $f'\left( h \right)=-3{{h}^{2}}+4Rh=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=0\left( ktm \right) \\
& h=\dfrac{4R}{3}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow {{V}_{max}}=\dfrac{\pi }{3}.f\left( \dfrac{4R}{3} \right)=\dfrac{\pi }{3}.\left( 2R.\dfrac{16{{R}^{2}}}{9}-\dfrac{64{{R}^{3}}}{27} \right)=\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{81}.$
Đáp án D.