Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R=a\sqrt{2}.$ Gọi $\left( T \right)$ là hình trụ có hai đáy nằm trên $\left( S \right)$ và thiết diện qua trục của $\left( T \right)$ có diện tích lớn nhất. Tính thể tích $V$ của khối trụ.
A. $V=\dfrac{2\pi {{a}^{3}}}{3}$
B. $V=\dfrac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$
C. $V=2\pi {{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{9\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$
A. $V=\dfrac{2\pi {{a}^{3}}}{3}$
B. $V=\dfrac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$
C. $V=2\pi {{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{9\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$
Phương pháp:
- Gọi $h$ là chiều cao của khối trụ. Tính bán kính khối trụ theo $h,R.$
- Tính diện tích thiết diện, áp dụng BĐT Cô-si tìm GTLN.
- Tìm $r,h$ theo $a$ để diện tích thiết diện đạt GTLN, khi đó tính thể tích khối trụ.
- Thể tích khối trụ có chiều cao $h,$ bán kính đáy $r$ là: $V=\pi {{r}^{2}}h.$
Cách giải:
Gọi $h$ là chiều cao của khối trụ.
Ta có bán kính của khối trụ là: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{8{{a}^{2}}-{{h}^{2}}}$ (Định lí Pytago).
Diện tích thiết diện $S=h.2r=h\sqrt{8{{a}^{2}}-{{h}^{2}}}\le \dfrac{{{h}^{2}}+8{{a}^{2}}-{{h}^{2}}}{2}=4{{a}^{2}}$ (BĐT Cô-si).
Diện tích thiết diện lớn nhất khi ${{h}^{2}}=8{{a}^{2}}-{{h}^{2}}\Rightarrow h=2a\Rightarrow r=a.$
Vậy thể tích khối trụ là: $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi .{{a}^{2}}.2a=2\pi {{a}^{3}}.$
- Gọi $h$ là chiều cao của khối trụ. Tính bán kính khối trụ theo $h,R.$
- Tính diện tích thiết diện, áp dụng BĐT Cô-si tìm GTLN.
- Tìm $r,h$ theo $a$ để diện tích thiết diện đạt GTLN, khi đó tính thể tích khối trụ.
- Thể tích khối trụ có chiều cao $h,$ bán kính đáy $r$ là: $V=\pi {{r}^{2}}h.$
Cách giải:
Gọi $h$ là chiều cao của khối trụ.
Ta có bán kính của khối trụ là: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{8{{a}^{2}}-{{h}^{2}}}$ (Định lí Pytago).
Diện tích thiết diện $S=h.2r=h\sqrt{8{{a}^{2}}-{{h}^{2}}}\le \dfrac{{{h}^{2}}+8{{a}^{2}}-{{h}^{2}}}{2}=4{{a}^{2}}$ (BĐT Cô-si).
Diện tích thiết diện lớn nhất khi ${{h}^{2}}=8{{a}^{2}}-{{h}^{2}}\Rightarrow h=2a\Rightarrow r=a.$
Vậy thể tích khối trụ là: $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi .{{a}^{2}}.2a=2\pi {{a}^{3}}.$
Đáp án C.