Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính bằng $a$. Gọi $V$ là thể tích của khối trụ có hai đường tròn đáy đều nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$. Giá trị lớn nhất của $V$ là
A. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}$.
B. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
C. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}$.
D. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right);$ $O$, ${O}'$ lần lượt là tâm hai đường tròn đáy của khối trụ.
Gọi $R$ là bán kính mặt cầu; $r$, $h$ lần lượt bán kính và chiều cao của khối trụ.
Do khối trụ có hai đường tròn đáy đều nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$, suy ra $I$ là trung điểm của $O{O}'$.
Theo đề ra ta có $IB=R=a$ $\Rightarrow r=\sqrt{{{R}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{h}^{2}}}{4}}$.
$\Rightarrow V=\pi {{r}^{2}}.h=\pi .\left( {{a}^{2}}-\dfrac{{{h}^{2}}}{4} \right)h=\pi \left( {{a}^{2}}h-\dfrac{{{h}^{3}}}{4} \right)$.
Xét $V$ là hàm số theo $h, \left( 0<h<2a \right)$, ta có
${V}'=\pi \left( {{a}^{2}}-\dfrac{3}{4}{{h}^{2}} \right)$ ; ${V}'=0\Leftrightarrow \pi \left( {{a}^{2}}-\dfrac{3}{4}{{h}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \\
& h=-\dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \left( l \right) \\
\end{aligned} \right. $.
Bảng biến thiên
Bảng biến thiên
Giá trị lớn nhất của $V=\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$ tại $h=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}$.
B. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
C. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}$.
D. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right);$ $O$, ${O}'$ lần lượt là tâm hai đường tròn đáy của khối trụ.
Gọi $R$ là bán kính mặt cầu; $r$, $h$ lần lượt bán kính và chiều cao của khối trụ.
Do khối trụ có hai đường tròn đáy đều nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$, suy ra $I$ là trung điểm của $O{O}'$.
Theo đề ra ta có $IB=R=a$ $\Rightarrow r=\sqrt{{{R}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{h}^{2}}}{4}}$.
$\Rightarrow V=\pi {{r}^{2}}.h=\pi .\left( {{a}^{2}}-\dfrac{{{h}^{2}}}{4} \right)h=\pi \left( {{a}^{2}}h-\dfrac{{{h}^{3}}}{4} \right)$.
Xét $V$ là hàm số theo $h, \left( 0<h<2a \right)$, ta có
${V}'=\pi \left( {{a}^{2}}-\dfrac{3}{4}{{h}^{2}} \right)$ ; ${V}'=0\Leftrightarrow \pi \left( {{a}^{2}}-\dfrac{3}{4}{{h}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& h=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \\
& h=-\dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \left( l \right) \\
\end{aligned} \right. $.
Bảng biến thiên
Bảng biến thiên
Giá trị lớn nhất của $V=\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$ tại $h=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án B.