Cho mặt cầu $\left( S \right).$ Biết rằng khi cắt mặt cầu $\left( S \right)$ bởi một mặt phẳng cách tâm một khoảng có độ dài là 3 thì được giao...

Phương pháp:
- Tính bán kính của đường tròn giao tuyến $\left( T \right),$ sử dụng công thức chu vi đường tròn có bán kính $r$ là $C=2\pi r$
- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính mặt cầu $\left( S \right):R=\sqrt{{{r}^{2}}+{{d}^{2}}}$ với $d$ là khoảng cách từ tâm của mặt cầu $\left( S \right)$ đến mặt phẳng chứa đường tròn $\left( T \right).$
- Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là: $S=4\pi {{R}^{2}}.$
Cách giải:

Gọi $I,J$ theo thứ tự là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ và đường tròn $\left( T \right),A$ là điểm bất kì thuộc đường tròn $\left( T \right).$ Khi đó ta có $IJ=3,2\pi .AJ=12\pi \Leftrightarrow AJ=6.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $AIJ$ ta có: $AI=\sqrt{A{{J}^{2}}+I{{J}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}}=3\sqrt{5}.$
$\Rightarrow $ Bán kính của mặt cầu là $R=3\sqrt{5}.$
Vậy diện tích mặt cầu $\left( S \right)$ là: $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( 3\sqrt{5} \right)}^{2}}=180\pi .$