Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ bán kính $R$. Hình nón $\left( N \right)$ thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu $\left( S \right)$. Thể tích lớn nhất của khối nón $\left( N \right)$ là:
A. $\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{81}$.
B. $\dfrac{32{{R}^{3}}}{81}$.
C. $\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{27}$.
D. $\dfrac{32{{R}^{3}}}{27}$.
A. $\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{81}$.
B. $\dfrac{32{{R}^{3}}}{81}$.
C. $\dfrac{32\pi {{R}^{3}}}{27}$.
D. $\dfrac{32{{R}^{3}}}{27}$.
Ta có thể tích khối nón đỉnh $S$ lớn hơn hoặc bằng thể tích khối nón đỉnh ${S}'$. Do đó chỉ cần xét khối nón đỉnh $S$ có bán kính đường tròn đáy là $r$ và đường cao là $SI=h$ với $h\ge R$.
Thể tích khối nón được tạo nên bởi $\left( N \right)$ là:
$V=\dfrac{1}{3}h.{{S}_{\left( C \right)}}$ $=\dfrac{1}{3}h.\pi .{{r}^{2}}$ $=\dfrac{1}{3}h.\pi .\left[ {{R}^{2}}-{{\left( h-R \right)}^{2}} \right]$ $=\dfrac{1}{3}\pi \left( -{{h}^{3}}+2{{h}^{2}}R \right)$.
Xét hàm số: $f\left( h \right)=-{{h}^{3}}+2{{h}^{2}}R$ với $h\in \left[ R;2R \right)$.
Ta có ${f}'\left( h \right)=-3{{h}^{2}}+4hR$.
${f}'\left( h \right)=0$ $\Leftrightarrow -3{{h}^{2}}+4hR=0$ $\Leftrightarrow h=0$ (loại) hoặc $h=\dfrac{4R}{3}$.
Bảng biến thiên:
Ta có: $\max f\left( h \right)=\dfrac{32}{27}{{R}^{3}}$ tại $h=\dfrac{4R}{3}$.
Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi $\left( N \right)$ có giá trị lớn nhất là $V=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{32}{27}{{R}^{3}}=\dfrac{32}{81}\pi {{R}^{3}}$ khi $h=\dfrac{4R}{3}$.
Thể tích khối nón được tạo nên bởi $\left( N \right)$ là:
$V=\dfrac{1}{3}h.{{S}_{\left( C \right)}}$ $=\dfrac{1}{3}h.\pi .{{r}^{2}}$ $=\dfrac{1}{3}h.\pi .\left[ {{R}^{2}}-{{\left( h-R \right)}^{2}} \right]$ $=\dfrac{1}{3}\pi \left( -{{h}^{3}}+2{{h}^{2}}R \right)$.
Xét hàm số: $f\left( h \right)=-{{h}^{3}}+2{{h}^{2}}R$ với $h\in \left[ R;2R \right)$.
Ta có ${f}'\left( h \right)=-3{{h}^{2}}+4hR$.
${f}'\left( h \right)=0$ $\Leftrightarrow -3{{h}^{2}}+4hR=0$ $\Leftrightarrow h=0$ (loại) hoặc $h=\dfrac{4R}{3}$.
Bảng biến thiên:
Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi $\left( N \right)$ có giá trị lớn nhất là $V=\dfrac{1}{3}\pi \dfrac{32}{27}{{R}^{3}}=\dfrac{32}{81}\pi {{R}^{3}}$ khi $h=\dfrac{4R}{3}$.
Đáp án A.