Cho mặt cầu đường kính $AB=2R.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc $AB$ tại $I$ ( $I$ thuộc đoạn $AB$ ) cắt mặt cầu theo một đường tròn...

Đặt $OI=x;\left( 0\le x\le R \right)$.
Ta có: $h=AI=AO+OI=R+x.$
Lại có ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{x}^{2}}$
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( R+x \right)=\dfrac{1}{3}\pi \left( -{{x}^{3}}-R{{x}^{2}}+x{{R}^{2}}+{{R}^{3}} \right)$
${{V}_{max}}$ khi và chỉ khi ${{\left( -{{x}^{3}}-R{{x}^{2}}+x{{R}^{2}} \right)}_{\max }}$
Xét $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-R{{x}^{2}}+x{{R}^{2}},x\in \left[ 0;R \right]$
$f'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}-2Rx+{{R}^{2}}$
$f'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}-2Rx+{{R}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-R\notin \left[ 0;R \right] \\
& x=\dfrac{R}{3}\in \left[ 0;R \right] \\
\end{aligned} \right.$
$f\left( 0 \right)=0;f\left( R \right)=-{{R}^{3}};f\left( \dfrac{R}{3} \right)=\dfrac{11}{27}{{R}^{3}}.$
$\Rightarrow h=R+\dfrac{R}{3}=\dfrac{4R}{3}.$