Cho mặt cầu đường kính $A B = 2 R .$ Mặt phẳng $(P)$ vuông góc $A B$ tại $I$ ( $I$ thuộc đoạn $A B$ ) cắt mặt cầu theo một đường tròn...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho mặt cầu đường kính

A B = 2 R .

Mặt phẳng

(P)

vuông góc

A B

tại

I

(

I

thuộc đoạn

A B

) cắt mặt cầu theo một đường tròn

(C)

. Tính

h = A I

theo

R

để hình nón đỉnh

A

, đáy là

(C)

có thể tích lớn nhất.
A.

h = R .

B.

h = \frac{R}{3} .

C.

h = \frac{4 R}{3} .

D.

h = \frac{2 R}{3} .

Đặt

O I = x; (0 \leq x \leq R)

.
Ta có:

h = A I = A O + O I = R + x .

Lại có

r^{2} = R^{2} - x^{2}

V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π (R^{2} - x^{2}) (R + x) = \frac{1}{3} π (- x^{3} - R x^{2} + x R^{2} + R^{3})

V_{m a x}

khi và chỉ khi

{(- x^{3} - R x^{2} + x R^{2})}_{max}

Xét

f (x) = - x^{3} - R x^{2} + x R^{2}, x \in [0; R]

f^{'} (x) = - 3 x^{2} - 2 R x + R^{2}

f^{'} (x) = - 3 x^{2} - 2 R x + R^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = - R \notin [0; R] \\ x = \frac{R}{3} \in [0; R] \end{aligned}

f (0) = 0; f (R) = - R^{3}; f (\frac{R}{3}) = \frac{11}{27} R^{3} .

\Rightarrow h = R + \frac{R}{3} = \frac{4 R}{3} .

Đáp án C.

Cho mặt cầu đường kính AB=2R. Mặt phẳng (P) vuông góc AB tại I ( I thuộc đoạn AB ) cắt mặt cầu theo một đường tròn...