Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu có bán kính bằng $3$. Một khối nón có chiều cao thay đổi sao cho đỉnh và đường tròn đáy cùng thuộc mặt cầu đã cho. Khi thể tích khối nón lớn nhất thì chiều cao của nó bằng
A. $4$.
B. $8$.
C. $\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{4}{3}$.
Gọi chiều cao của hình nón là $x$, $\left( 0<x<6 \right)$. Gọi bán kính đáy của hình nón là $r$ Khi đó ${{r}^{2}}=O{{M}^{2}}-O{{H}^{2}}$ $={{3}^{2}}-{{\left( x-3 \right)}^{2}}=x\left( 6-x \right)$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.x=\dfrac{1}{3}\pi {{x}^{2}}\left( 6-x \right)=\dfrac{4\pi }{3}.\dfrac{x}{2}.\dfrac{x}{2}\left( 6-x \right)\le \dfrac{4\pi }{3}{{\left( \dfrac{\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+6-x}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{32\pi }{3}$.
Vậy $\max V=\dfrac{32\pi }{3}$ khi $\dfrac{x}{2}=6-x\Leftrightarrow x=4$.
A. $4$.
B. $8$.
C. $\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{4}{3}$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.x=\dfrac{1}{3}\pi {{x}^{2}}\left( 6-x \right)=\dfrac{4\pi }{3}.\dfrac{x}{2}.\dfrac{x}{2}\left( 6-x \right)\le \dfrac{4\pi }{3}{{\left( \dfrac{\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+6-x}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{32\pi }{3}$.
Vậy $\max V=\dfrac{32\pi }{3}$ khi $\dfrac{x}{2}=6-x\Leftrightarrow x=4$.
Đáp án A.