Google
Câu hỏi: Cho mạch điện xoay chiều gồm R, L, C mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm. Các giá trị điện trở R, độ tự cảm L và điện dung C của tụ điện thỏa mãn điều kiện $3L=C{{R}^{2}}.$ Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều ổn định, tần số của dòng đện thay đổi được. Khi tần số của dòng điện là ${{f}_{1}}=50Hz$ thì hệ số công suất của mạch điện là ${{k}_{1}}$. Khi tần số ${{f}_{2}}=150Hz$ thì hệ số công suất của mạch điện là ${{k}_{2}}=\dfrac{5}{3}{{k}_{1}}$. Khi tần số ${{f}_{3}}=200Hz$ thì hệ số công suất của mạch là ${{k}_{3}}$. Giá trị của ${{k}_{3}}$ gần với giá trị nào nhất sau đây?
A. 0,45.
B. 0,56.
C. 0,9.
D. 0,67.
A. 0,45.
B. 0,56.
C. 0,9.
D. 0,67.
Ta có: $3L=C{{R}^{2}}\Rightarrow \dfrac{3\omega L}{\omega C}={{R}^{2}}\Rightarrow {{R}^{2}}=3{{Z}_{L}}.{{Z}_{C}}$
Hệ số công suất: $\cos \varphi =\dfrac{R}{Z}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$
Chuẩn hóa số liệu, ta có:
Theo bài ra ta có hệ số công suất của mạch điện là:
$\begin{aligned}
& {{k}_{2}}=\dfrac{5}{3}{{k}_{1}}\Leftrightarrow \dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{9} \right)}^{2}}}}=\dfrac{5}{3}\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \right)}^{2}}}} \\
& \Leftrightarrow 9\left( {{a}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \right)}^{2}} \right)=25.\left( {{a}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{9} \right)}^{2}} \right) \\
& \Leftrightarrow 9{{a}^{2}}+9\left( 1-\dfrac{2}{3}{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{4}}}{9} \right)=25{{a}^{2}}+25\left( 1-\dfrac{2}{9}{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{4}}}{81} \right) \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \dfrac{56}{81}{{a}^{4}}-\dfrac{148}{9}{{a}^{2}}-16=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}=24,7218\Rightarrow a\approx 5$
$\to $ Giá trị của ${{k}_{3}}$ là: ${{k}_{3}}=\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{16} \right)}^{2}}}}=\dfrac{5}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{5}^{2}}}{16} \right)}^{2}}}}=\dfrac{5}{5,081}=0,984$
Hệ số công suất: $\cos \varphi =\dfrac{R}{Z}=\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$
Chuẩn hóa số liệu, ta có:
| f | R | ${{Z}_{L}}=2\pi f.L$ | ${{Z}_{C}}=\dfrac{{{R}^{2}}}{3{{Z}_{L}}}$ | $\cos \varphi =\dfrac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$ |
| ${{f}_{1}}=50Hz$ | a | 1 | $\dfrac{{{a}^{2}}}{3}$ | ${{k}_{1}}=\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \right)}^{2}}}}$ |
| ${{f}_{2}}=150Hz=3{{f}_{1}}$ | a | 3 | $\dfrac{{{a}^{2}}}{9}$ | ${{k}_{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{9} \right)}^{2}}}}$ |
| ${{f}_{3}}=200Hz=4{{f}_{1}}$ | a | 4 | $\dfrac{{{a}^{2}}}{16}$ | ${{k}_{3}}=\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{16} \right)}^{2}}}}$ |
$\begin{aligned}
& {{k}_{2}}=\dfrac{5}{3}{{k}_{1}}\Leftrightarrow \dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{9} \right)}^{2}}}}=\dfrac{5}{3}\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \right)}^{2}}}} \\
& \Leftrightarrow 9\left( {{a}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \right)}^{2}} \right)=25.\left( {{a}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{9} \right)}^{2}} \right) \\
& \Leftrightarrow 9{{a}^{2}}+9\left( 1-\dfrac{2}{3}{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{4}}}{9} \right)=25{{a}^{2}}+25\left( 1-\dfrac{2}{9}{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{4}}}{81} \right) \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \dfrac{56}{81}{{a}^{4}}-\dfrac{148}{9}{{a}^{2}}-16=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}=24,7218\Rightarrow a\approx 5$
$\to $ Giá trị của ${{k}_{3}}$ là: ${{k}_{3}}=\dfrac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{a}^{2}}}{16} \right)}^{2}}}}=\dfrac{5}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( 1-\dfrac{{{5}^{2}}}{16} \right)}^{2}}}}=\dfrac{5}{5,081}=0,984$
Đáp án C.