Google
Câu hỏi: Cho mạch điện xoay chiều gồm một điện trở thuần, một cuộn cảm thuần và một tụ điện mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi và tần số f thay đổi được. Điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện và điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm lần lượt là UC, UL phụ thuộc vào f, chúng được biểu diễn bằng các đồ thị như hình vẽ bên, tương ứng với các đường UC, UL. Khi f = f1 thì UC đạt cực đại Um. Các giá trị Um và f1 lần lượt là
A. $120\sqrt{3}\ V$ ; $50\sqrt{3}\ Hz$.
B. $150\sqrt{3}\ V$ ; $50\sqrt{3}\ Hz$.
C. $120\sqrt{3}\ V$ ; $50\sqrt{2}\ Hz$.
D. $180\sqrt{3}\ V$ ; $25\sqrt{2}\ Hz$.
A. $120\sqrt{3}\ V$ ; $50\sqrt{3}\ Hz$.
B. $150\sqrt{3}\ V$ ; $50\sqrt{3}\ Hz$.
C. $120\sqrt{3}\ V$ ; $50\sqrt{2}\ Hz$.
D. $180\sqrt{3}\ V$ ; $25\sqrt{2}\ Hz$.
Giải cách 1 (Truyền thống):
Theo đồ thị ta thấy
- Khi ω = 0 thì UL = 0; UC = 180V.
Lúc này ZC = ∞, cường độ dòng điện hiêu dụng qua mạch bằng 0 nên UR =0 và U = UC = 180 V.
- Khi $\mathrm{f}=100 \mathrm{~Hz}$ thì $\mathrm{U}_{\mathrm{L}}=\mathrm{U}_{\mathrm{C}}=\mathrm{U}=180 \mathrm{~V} \Rightarrow \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=\mathrm{Z}_{\mathrm{C}} \Rightarrow \omega^{2}=\dfrac{1}{\mathrm{LC}}$ (1) $U_{L}=I \cdot Z_{L}=\dfrac{U}{R} \omega L=U \quad \Rightarrow \dfrac{R}{L}=\omega$ (2) $\mathrm{U}_{\mathrm{C}}=\mathrm{I} \cdot \mathrm{Z}_{\mathrm{C}}=\dfrac{\mathrm{U}}{R \omega \omega}=\mathrm{U} \quad \Rightarrow \mathrm{RC}=\dfrac{1}{\omega}$ (3)
- Khi $f=f_{1}$ thì $U_{C}=U_{C m a x}=U_{m} \Rightarrow \omega_{1}=\dfrac{1}{L} \sqrt{\dfrac{L}{C}-\dfrac{R^{2}}{2}}$ (4) và $\mathrm{U}_{\mathrm{m}}=\dfrac{2 \mathrm{UL}}{\mathrm{R} \sqrt{4 \mathrm{LC}-\mathrm{R}^{2} \mathrm{C}^{2}}}$ (5) Từ $(1),(2)$ và $(4) \Rightarrow \omega_{1}^{2}=\dfrac{1}{L C}-\dfrac{R^{2}}{2 L^{2}}=\omega^{2}-\dfrac{\omega^{2}}{2}=\dfrac{\omega^{2}}{2}$
Do đó $\omega_{1}=\dfrac{\omega_{R}}{\sqrt{2}} \Rightarrow f_{1}=\dfrac{f_{R}}{\sqrt{2}}=50 \sqrt{2}(\mathrm{~Hz})$.
Từ (5) suy ra $U_{m}=\dfrac{2 U L}{R \sqrt{4 L C-R^{2} C^{2}}}=\dfrac{2 U}{\dfrac{R}{L} \sqrt{4 L C-R^{2} C^{2}}}=\dfrac{2 U}{\omega \sqrt{\dfrac{4}{\omega^{2}}-\dfrac{1}{\omega^{2}}}}=120 \sqrt{3}(\mathrm{~V})$
Chú ý: Nếu không nhớ công thức (4) thì có thể thay $\omega_{1}$ trực tiếp vào biều thức : $ U_{C \max }=U_{m}=I Z_{C}=\dfrac{U Z_{C 1}}{\sqrt{R^{2}+\left(Z_{L 1}-Z_{C 1}\right)^{2}}}=120 \sqrt{3} \mathrm{~V} . \text { Chọn C. } $
Giải cách 2:
+ Đặt $\mathrm{X}=\sqrt{\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}-\dfrac{\mathrm{R}^{2}}{2}} \Rightarrow \omega_{\mathrm{C}}=\dfrac{\mathrm{X}}{\mathrm{L}} ; \omega_{\mathrm{L}}=\dfrac{1}{\mathrm{C} \mathrm{X}}$
+ Tại vị tri cộng hường $\left\{\begin{array}{l}\omega_{0}=200 \pi(\mathrm{rad} / \mathrm{s}) \\ \mathrm{U}_{\mathrm{L}}=\mathrm{U}_{\mathrm{C}}=\mathrm{U}=\mathrm{U}_{\mathrm{R}}=180(\mathrm{~V}) \Rightarrow \dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}=\mathrm{R}^{2}\end{array}\right.$
+ Ta có: $\dfrac{\omega_{C}}{\omega_{L}}=\dfrac{X^{2}}{\dfrac{L}{C}}=\dfrac{\dfrac{L}{C}-\dfrac{R^{2}}{2}}{\dfrac{L}{C}}=\dfrac{R^{2}-\dfrac{R^{2}}{2}}{R^{2}}=0,5$
+ Sử dụng: $\left(\dfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{U}_{\mathrm{Cmax}}}\right)^{2}+\left(\dfrac{\omega_{\mathrm{C}}}{\omega_{\mathrm{L}}}\right)^{2}=1 \Rightarrow \mathrm{U}_{\mathrm{Cmax}}=120 \sqrt{3}(\mathrm{~V})$ $ \omega_{R}^{2}=\omega_{C} \omega_{L}=2 \omega_{C}^{2} \Rightarrow \omega_{C}=\dfrac{\omega_{R}}{\sqrt{2}} \Rightarrow f_{C}=\dfrac{f_{R}}{\sqrt{2}}=50 \sqrt{2} \mathrm{~Hz} \text {. Chọn C. } $
Giải cách 3 (Hiện đại):
Theo đồ thị : U= 180V ; ${{\omega }_{R}}=2\pi {{f}_{R}}=200\pi rad/s$ và ${{\omega }_{C}}=\dfrac{{{\omega }_{R}}}{\sqrt{n}}$
Tại điểm giao nhau G của 2 đồ thị cho ta: U = UCG = ULG =URmax ( dễ thấy n=2 )
Ta chứng minh n=2:
Tại ${{\omega }_{R}}=600\pi rad/s$ ta có: R= ZCG =ZLG => ${{R}^{2}}={{\omega }_{R}}L.\dfrac{1}{{{\omega }_{R}}C}=\dfrac{L}{C}$ (1)
Ta có n: $\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{C{{R}^{2}}}{2L}$ (2) , thế (1) vào (2) : $\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{CL}{2LC}=\dfrac{1}{2}$
=> n=2: ${{\omega }_{C}}=\dfrac{{{\omega }_{R}}}{\sqrt{n}}\Rightarrow {{f}_{C}}=\dfrac{{{f}_{R}}}{\sqrt{n}}=\dfrac{100}{\sqrt{2}}=50\sqrt{2}Hz$
Dùng công thức: ${{U}_{L\max }}={{U}_{C\max }}=\dfrac{U}{\sqrt{1-{{n}^{-2}}}}=\dfrac{180}{\sqrt{1-\dfrac{1}{{{2}^{2}}}}}=120\sqrt{3}V$
Theo đồ thị ta thấy
- Khi ω = 0 thì UL = 0; UC = 180V.
Lúc này ZC = ∞, cường độ dòng điện hiêu dụng qua mạch bằng 0 nên UR =0 và U = UC = 180 V.
- Khi $\mathrm{f}=100 \mathrm{~Hz}$ thì $\mathrm{U}_{\mathrm{L}}=\mathrm{U}_{\mathrm{C}}=\mathrm{U}=180 \mathrm{~V} \Rightarrow \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=\mathrm{Z}_{\mathrm{C}} \Rightarrow \omega^{2}=\dfrac{1}{\mathrm{LC}}$ (1) $U_{L}=I \cdot Z_{L}=\dfrac{U}{R} \omega L=U \quad \Rightarrow \dfrac{R}{L}=\omega$ (2) $\mathrm{U}_{\mathrm{C}}=\mathrm{I} \cdot \mathrm{Z}_{\mathrm{C}}=\dfrac{\mathrm{U}}{R \omega \omega}=\mathrm{U} \quad \Rightarrow \mathrm{RC}=\dfrac{1}{\omega}$ (3)
- Khi $f=f_{1}$ thì $U_{C}=U_{C m a x}=U_{m} \Rightarrow \omega_{1}=\dfrac{1}{L} \sqrt{\dfrac{L}{C}-\dfrac{R^{2}}{2}}$ (4) và $\mathrm{U}_{\mathrm{m}}=\dfrac{2 \mathrm{UL}}{\mathrm{R} \sqrt{4 \mathrm{LC}-\mathrm{R}^{2} \mathrm{C}^{2}}}$ (5) Từ $(1),(2)$ và $(4) \Rightarrow \omega_{1}^{2}=\dfrac{1}{L C}-\dfrac{R^{2}}{2 L^{2}}=\omega^{2}-\dfrac{\omega^{2}}{2}=\dfrac{\omega^{2}}{2}$
Do đó $\omega_{1}=\dfrac{\omega_{R}}{\sqrt{2}} \Rightarrow f_{1}=\dfrac{f_{R}}{\sqrt{2}}=50 \sqrt{2}(\mathrm{~Hz})$.
Từ (5) suy ra $U_{m}=\dfrac{2 U L}{R \sqrt{4 L C-R^{2} C^{2}}}=\dfrac{2 U}{\dfrac{R}{L} \sqrt{4 L C-R^{2} C^{2}}}=\dfrac{2 U}{\omega \sqrt{\dfrac{4}{\omega^{2}}-\dfrac{1}{\omega^{2}}}}=120 \sqrt{3}(\mathrm{~V})$
Chú ý: Nếu không nhớ công thức (4) thì có thể thay $\omega_{1}$ trực tiếp vào biều thức : $ U_{C \max }=U_{m}=I Z_{C}=\dfrac{U Z_{C 1}}{\sqrt{R^{2}+\left(Z_{L 1}-Z_{C 1}\right)^{2}}}=120 \sqrt{3} \mathrm{~V} . \text { Chọn C. } $
Giải cách 2:
+ Đặt $\mathrm{X}=\sqrt{\dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}-\dfrac{\mathrm{R}^{2}}{2}} \Rightarrow \omega_{\mathrm{C}}=\dfrac{\mathrm{X}}{\mathrm{L}} ; \omega_{\mathrm{L}}=\dfrac{1}{\mathrm{C} \mathrm{X}}$
+ Tại vị tri cộng hường $\left\{\begin{array}{l}\omega_{0}=200 \pi(\mathrm{rad} / \mathrm{s}) \\ \mathrm{U}_{\mathrm{L}}=\mathrm{U}_{\mathrm{C}}=\mathrm{U}=\mathrm{U}_{\mathrm{R}}=180(\mathrm{~V}) \Rightarrow \dfrac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}=\mathrm{R}^{2}\end{array}\right.$
+ Ta có: $\dfrac{\omega_{C}}{\omega_{L}}=\dfrac{X^{2}}{\dfrac{L}{C}}=\dfrac{\dfrac{L}{C}-\dfrac{R^{2}}{2}}{\dfrac{L}{C}}=\dfrac{R^{2}-\dfrac{R^{2}}{2}}{R^{2}}=0,5$
+ Sử dụng: $\left(\dfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{U}_{\mathrm{Cmax}}}\right)^{2}+\left(\dfrac{\omega_{\mathrm{C}}}{\omega_{\mathrm{L}}}\right)^{2}=1 \Rightarrow \mathrm{U}_{\mathrm{Cmax}}=120 \sqrt{3}(\mathrm{~V})$ $ \omega_{R}^{2}=\omega_{C} \omega_{L}=2 \omega_{C}^{2} \Rightarrow \omega_{C}=\dfrac{\omega_{R}}{\sqrt{2}} \Rightarrow f_{C}=\dfrac{f_{R}}{\sqrt{2}}=50 \sqrt{2} \mathrm{~Hz} \text {. Chọn C. } $
Giải cách 3 (Hiện đại):
Theo đồ thị : U= 180V ; ${{\omega }_{R}}=2\pi {{f}_{R}}=200\pi rad/s$ và ${{\omega }_{C}}=\dfrac{{{\omega }_{R}}}{\sqrt{n}}$
Tại điểm giao nhau G của 2 đồ thị cho ta: U = UCG = ULG =URmax ( dễ thấy n=2 )
Ta chứng minh n=2:
Tại ${{\omega }_{R}}=600\pi rad/s$ ta có: R= ZCG =ZLG => ${{R}^{2}}={{\omega }_{R}}L.\dfrac{1}{{{\omega }_{R}}C}=\dfrac{L}{C}$ (1)
Ta có n: $\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{C{{R}^{2}}}{2L}$ (2) , thế (1) vào (2) : $\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{CL}{2LC}=\dfrac{1}{2}$
=> n=2: ${{\omega }_{C}}=\dfrac{{{\omega }_{R}}}{\sqrt{n}}\Rightarrow {{f}_{C}}=\dfrac{{{f}_{R}}}{\sqrt{n}}=\dfrac{100}{\sqrt{2}}=50\sqrt{2}Hz$
Dùng công thức: ${{U}_{L\max }}={{U}_{C\max }}=\dfrac{U}{\sqrt{1-{{n}^{-2}}}}=\dfrac{180}{\sqrt{1-\dfrac{1}{{{2}^{2}}}}}=120\sqrt{3}V$
Đáp án C.