Google
Câu hỏi: Cho mạch điện như hình vẽ, hai cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm thay đổi, biết ${{R}_{2}}=5{{R}_{1}}$. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều $u=U\sqrt{2}\cos \omega t$ (với U và không đổi). Điều chỉnh độ tự cảm của các cuộn dây (nhưng luôn thỏa mãn ${{L}_{2}}=0,8{{L}_{1}}$ ) sao cho độ lệch pha của điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AM và MB lớn nhất, khi đó, hệ số công suất của mạch bằng
A. 0,8.
B. 0,6.
C. $\dfrac{8}{\sqrt{73}}$.
D. $\dfrac{6}{\sqrt{73}}$.
A. 0,8.
B. 0,6.
C. $\dfrac{8}{\sqrt{73}}$.
D. $\dfrac{6}{\sqrt{73}}$.
Ta có: ${{L}_{2}}=0,8{{L}_{1}}\Rightarrow {{Z}_{L2}}=0,8{{Z}_{L1}}$
Đặt: $\left\{ \begin{aligned}
& {{Z}_{L1}}=x \\
& {{Z}_{L2}}=0,8x \\
& {{R}_{1}}=1 \\
& {{R}_{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\Delta \varphi =\tan \left( {{\varphi }_{AM}}-{{\varphi }_{MB}} \right)=\dfrac{\tan {{\varphi }_{AM}}-\tan {{\varphi }_{MB}}}{1+\tan {{\varphi }_{AM}}.\tan {{\varphi }_{MB}}}=\dfrac{\dfrac{{{Z}_{L1}}}{{{R}_{1}}}-\dfrac{{{Z}_{L2}}}{{{R}_{2}}}}{1+\dfrac{{{Z}_{L1}}}{{{R}_{1}}}.\dfrac{{{Z}_{L2}}}{{{R}_{2}}}}$
$\tan \Delta \varphi =\dfrac{\dfrac{x}{1}-\dfrac{0,8x}{5}}{1+\dfrac{x}{1}\times \dfrac{0,8x}{5}}=\dfrac{0,84x}{1+0,16{{x}^{2}}}=\dfrac{0,84}{\dfrac{1}{x}+0,16x}\Rightarrow {{\left( \tan \Delta \varphi \right)}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{x}+0,16x \right)}_{\min }}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: ${{\left( \dfrac{1}{x}+0,16x \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}=0,16x\Rightarrow x=2,5$
Hệ số công suất của đoạn mạch khi đó:
$\cos \varphi =\dfrac{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{\sqrt{{{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{1}}+{{Z}_{2}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{1+5}{\sqrt{{{\left( 1+5 \right)}^{2}}+{{\left( 2,5+0,8.2,5 \right)}^{2}}}}=0,8$.
Đặt: $\left\{ \begin{aligned}
& {{Z}_{L1}}=x \\
& {{Z}_{L2}}=0,8x \\
& {{R}_{1}}=1 \\
& {{R}_{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\Delta \varphi =\tan \left( {{\varphi }_{AM}}-{{\varphi }_{MB}} \right)=\dfrac{\tan {{\varphi }_{AM}}-\tan {{\varphi }_{MB}}}{1+\tan {{\varphi }_{AM}}.\tan {{\varphi }_{MB}}}=\dfrac{\dfrac{{{Z}_{L1}}}{{{R}_{1}}}-\dfrac{{{Z}_{L2}}}{{{R}_{2}}}}{1+\dfrac{{{Z}_{L1}}}{{{R}_{1}}}.\dfrac{{{Z}_{L2}}}{{{R}_{2}}}}$
$\tan \Delta \varphi =\dfrac{\dfrac{x}{1}-\dfrac{0,8x}{5}}{1+\dfrac{x}{1}\times \dfrac{0,8x}{5}}=\dfrac{0,84x}{1+0,16{{x}^{2}}}=\dfrac{0,84}{\dfrac{1}{x}+0,16x}\Rightarrow {{\left( \tan \Delta \varphi \right)}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{x}+0,16x \right)}_{\min }}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: ${{\left( \dfrac{1}{x}+0,16x \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}=0,16x\Rightarrow x=2,5$
Hệ số công suất của đoạn mạch khi đó:
$\cos \varphi =\dfrac{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}{\sqrt{{{\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{1}}+{{Z}_{2}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{1+5}{\sqrt{{{\left( 1+5 \right)}^{2}}+{{\left( 2,5+0,8.2,5 \right)}^{2}}}}=0,8$.
Đáp án A.