Google
Câu hỏi: Cho $M, N, P$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$, ${{z}_{3}}$ thỏa mãn điều kiện $\left| 5{{z}_{1}}+9-3i \right|=5\left| {{{\bar{z}}}_{1}} \right|$, $\left| {{z}_{2}}-2 \right|=\left| {{z}_{2}}-3-i \right|$, $\left| {{z}_{3}}+1 \right|+\left| {{z}_{3}}-3 \right|=4$. Khi $M, N, P$ không thẳng hàng, giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi $p$ của tam giác $MNP$ là
A. $\dfrac{10\sqrt{5}}{9}$.
B. $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{9\sqrt{10}}{10}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{11}}{13}$.
Tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là đường thẳng $AB$.
Tập hợp điểm $N$ biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường thẳng $BC$.
$\left| {{z}_{3}}+1 \right|+\left| {{z}_{3}}-3 \right|=4$ $\Leftrightarrow $ $PA+PC=AC$ $\Rightarrow $ Tập hợp điểm $P$ biểu diễn số phức ${{z}_{3}}$ là đoạn $AC$.
Khi đó $p=\dfrac{MN+NP+PM}{2}$.
Gọi ${{P}_{1}}$, ${{P}_{2}}$ lần lượt đối xứng với $P$ qua $AB$, $BC$. Ta có $MP=M{{P}_{1}}$, $NP=N{{P}_{2}}$.
Khi đó $MN+NP+PM={{P}_{1}}M+MN+N{{P}_{2}}\ge {{P}_{1}}{{P}_{2}}$.
Ta thấy $\widehat{{{P}_{1}}B{{P}_{2}}}=\widehat{{{P}_{1}}BA}+\widehat{ABC}+\widehat{CB{{P}_{2}}}=\widehat{PBA}+\widehat{ABC}+\widehat{PBC}=2\widehat{ABC}$.
Theo định lí Sin: $\dfrac{AB}{\sin \widehat{BCA}}=\dfrac{AC}{\sin \widehat{ABC}}\Rightarrow \sin \widehat{ABC}=\dfrac{AC\sin \widehat{BCA}}{AB}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
Gọi $H$ là trung điểm của ${{P}_{1}}{{P}_{2}}$, khi đó
${{P}_{1}}{{P}_{2}}=2{{P}_{2}}H=2B{{P}_{2}}.\sin \widehat{{{P}_{2}}BH}=2BP.\sin \widehat{ABC}=2BP.\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}BP\ge \dfrac{4\sqrt{5}}{5}BO=\dfrac{12\sqrt{5}}{5}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $p$ là $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$.
A. $\dfrac{10\sqrt{5}}{9}$.
B. $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$.
C. $\dfrac{9\sqrt{10}}{10}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{11}}{13}$.
Trong mặt phẳng $Oxy$, gọi $A\left( -1 ; 0 \right)$, $B\left( 0 ; 3 \right)$, $C\left( 3 ; 0 \right)$ và $M, N, P$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$, ${{z}_{3}}$. Ta cóTập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là đường thẳng $AB$.
Tập hợp điểm $N$ biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường thẳng $BC$.
$\left| {{z}_{3}}+1 \right|+\left| {{z}_{3}}-3 \right|=4$ $\Leftrightarrow $ $PA+PC=AC$ $\Rightarrow $ Tập hợp điểm $P$ biểu diễn số phức ${{z}_{3}}$ là đoạn $AC$.
Gọi ${{P}_{1}}$, ${{P}_{2}}$ lần lượt đối xứng với $P$ qua $AB$, $BC$. Ta có $MP=M{{P}_{1}}$, $NP=N{{P}_{2}}$.
Khi đó $MN+NP+PM={{P}_{1}}M+MN+N{{P}_{2}}\ge {{P}_{1}}{{P}_{2}}$.
Ta thấy $\widehat{{{P}_{1}}B{{P}_{2}}}=\widehat{{{P}_{1}}BA}+\widehat{ABC}+\widehat{CB{{P}_{2}}}=\widehat{PBA}+\widehat{ABC}+\widehat{PBC}=2\widehat{ABC}$.
Theo định lí Sin: $\dfrac{AB}{\sin \widehat{BCA}}=\dfrac{AC}{\sin \widehat{ABC}}\Rightarrow \sin \widehat{ABC}=\dfrac{AC\sin \widehat{BCA}}{AB}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
Gọi $H$ là trung điểm của ${{P}_{1}}{{P}_{2}}$, khi đó
${{P}_{1}}{{P}_{2}}=2{{P}_{2}}H=2B{{P}_{2}}.\sin \widehat{{{P}_{2}}BH}=2BP.\sin \widehat{ABC}=2BP.\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}BP\ge \dfrac{4\sqrt{5}}{5}BO=\dfrac{12\sqrt{5}}{5}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $p$ là $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án B.