Cho $\left({{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân, đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}$. Biết ${{S}_{2}}=4,{{S}_{3}}=13$ và ${{u}_{2}}<0$...

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$. Ta có ${{S}_{2}}=4\ne 0$ nên ${{u}_{1}}\ne 0$
Ta có ${{u}_{2}}<0\Leftrightarrow {{u}_{1}}q<0\Leftrightarrow {{u}_{1}}$ và $q$ trái dấu. Ta có:
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{S}_{2}}=4 \\
& {{S}_{3}}=13 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}+{{u}_{2}}=4 \\
& {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=13 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}+{{u}_{1}}q=4 \\
& {{u}_{1}}+{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{2}}=13 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}+{{u}_{1}}q=4 \\
& 13{{u}_{1}}\left( 1+q \right)=4{{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}+{{u}_{1}}q=4 \\
& 4{{q}^{2}}-9q-9=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}=1 \\
& q=3 \\
\end{aligned} \right.\left( L \right) \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{1}}=16 \\
& q=-\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right.\left( N \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Vậy ${{S}_{6}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{6}} \right)}{1-q}=\dfrac{16\left( 1-{{\left( -\dfrac{3}{4} \right)}^{6}} \right)}{1+\dfrac{3}{4}}=\dfrac{481}{64}$