Google
Câu hỏi: Cho $\left( {{C}_{1}} \right):y=f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right):y=\dfrac{2}{x}$, đồ thị của $\left( {{C}_{1}} \right)$ như hình sau
và $\left( {{C}_{1}} \right)$ tiếp xúc $\left( {{C}_{2}} \right)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ bằng $a\ln 2-\dfrac{b}{c}$ ; $a,b,c\in \mathbb{N};\dfrac{b}{c}$ tối giản. Khẳng định đúng là:
A. $a+b+c=9$.
B. $a+b+c=3$.
C. $a+b+c=5$.
D. $a+b+c=7$.
A. $a+b+c=9$.
B. $a+b+c=3$.
C. $a+b+c=5$.
D. $a+b+c=7$.
Đồ thị hàm số $\left( {{C}_{1}} \right)$ đạt cực trị tại $\left( \dfrac{3}{2};0 \right)$ và đi qua điểm $\left( 2;1 \right)$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{b}{2a}=\dfrac{3}{2} \\
& 4a+2b+c=1 \\
& \dfrac{9a}{4}+\dfrac{3b}{2}+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=4 \\
& b=-12 \\
& c=9 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=4{{x}^{2}}-12x+9$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ là
$4{{x}^{2}}-12x+9=\dfrac{2}{x}\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+9x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ là
$S=\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{2}{\left| \dfrac{2}{x}-4{{x}^{2}}+12x-9 \right|\text{d}x}=\left| \left. \left( 2\ln |x|-\dfrac{4}{3}{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x \right) \right|_{\dfrac{1}{2}}^{2} \right|=4\ln 2-\dfrac{3}{2}.$
Vậy $a=4,b=3,c=2\Rightarrow a+b+c=9$.
$\left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{b}{2a}=\dfrac{3}{2} \\
& 4a+2b+c=1 \\
& \dfrac{9a}{4}+\dfrac{3b}{2}+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=4 \\
& b=-12 \\
& c=9 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=4{{x}^{2}}-12x+9$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ là
$4{{x}^{2}}-12x+9=\dfrac{2}{x}\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+9x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ là
$S=\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{2}{\left| \dfrac{2}{x}-4{{x}^{2}}+12x-9 \right|\text{d}x}=\left| \left. \left( 2\ln |x|-\dfrac{4}{3}{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x \right) \right|_{\dfrac{1}{2}}^{2} \right|=4\ln 2-\dfrac{3}{2}.$
Vậy $a=4,b=3,c=2\Rightarrow a+b+c=9$.
Đáp án A.