Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ có $AC=4a.$ Gọi $O$ là tâm của mặt $A'B'C'D'.$ Biết rằng hai mặt phẳng $\left( OAB \right)$ và $\left( OCD \right)$ vuông góc với nhau. Thể tích khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ bằng
A. $\dfrac{16{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
C. $16{{a}^{3}}$
D. $8{{a}^{3}}\sqrt{2}$
Gọi $O$ là tâm hình vuông suy ra $SO\bot \left( ABCD \right)$
Ta có $\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=Sx//AB//CD$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB,$ suy ra $SI\bot AB\Rightarrow SI\bot Sx\Rightarrow SI\bot \left( SCD \right)\Rightarrow SI\bot SD$
$AC=4a\Rightarrow AD=2\sqrt{2}a\Rightarrow DI=a\sqrt{10}$
Đặt $SD=x\Rightarrow SI=\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}.$ Ta có hệ thức ${{x}^{2}}-2{{a}^{2}}+{{x}^{2}}=10{{a}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}=6{{a}^{2}}\Rightarrow x=a\sqrt{6}$
Từ đó ta tính được $SO=a\sqrt{2}.$
Vậy ${{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=a\sqrt{2}.{{\left( 2\sqrt{2}a \right)}^{2}}=8{{a}^{3}}\sqrt{2}.$
A. $\dfrac{16{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
C. $16{{a}^{3}}$
D. $8{{a}^{3}}\sqrt{2}$
Ta có $\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=Sx//AB//CD$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB,$ suy ra $SI\bot AB\Rightarrow SI\bot Sx\Rightarrow SI\bot \left( SCD \right)\Rightarrow SI\bot SD$
$AC=4a\Rightarrow AD=2\sqrt{2}a\Rightarrow DI=a\sqrt{10}$
Đặt $SD=x\Rightarrow SI=\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}.$ Ta có hệ thức ${{x}^{2}}-2{{a}^{2}}+{{x}^{2}}=10{{a}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}=6{{a}^{2}}\Rightarrow x=a\sqrt{6}$
Từ đó ta tính được $SO=a\sqrt{2}.$
Vậy ${{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=a\sqrt{2}.{{\left( 2\sqrt{2}a \right)}^{2}}=8{{a}^{3}}\sqrt{2}.$
Đáp án D.