Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.DEF$ có tất cả các cạnh bằng $a.$ Xét $\left( T \right)$ là hình trụ nội tiếp lăng trụ. Gọi $M$ là tâm của mặt bên $BCFE,$ mặt phẳng chứa $AM$ và song song với $BC$ cắt $\left( T \right)$ như hình vẽ bên dưới.
Thể tích phần còn lại (như hình trên) của khối $\left( T \right)$ bằng
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{18}$
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{54}$
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{27}$
D. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}}{54}$
Thể tích phần còn lại (như hình trên) của khối $\left( T \right)$ bằng
A. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{18}$
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{54}$
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{27}$
D. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}}{54}$
Phương pháp:
- Chia thành các khối trụ và nửa khối trụ.
- Xác định rõ chiều cao và bán kính đáy của từng phần.
- Thể tích khối trụ có chiều cao $h,$ bán kính đáy $r$ là $V=\pi {{r}^{2}}h.$
Cách giải:
Đáy của hình trụ là hình tròn nội tiếp tam giác đều $DEF$ D nên có bán kính $r=\dfrac{{{S}_{\Delta DEF}}}{{{P}_{\Delta DEF}}}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{3a}{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.$
Phần còn lại của hình trụ $\left( T \right)$ được chia làm 2 phần:
+ Phần 1: Hình trụ có bán kính đáy $r,$ chiều cao ${{h}_{1}}=MH$ với $H$ là trung điểm của $EF.$
Ta có ${{h}_{1}}=MH=\dfrac{1}{2}CF=\dfrac{a}{2}.$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\pi {{r}^{2}}{{h}_{1}}=\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{24}.$
+ Phần 2: Một nửa hình trụ có bán kính đáy $r,$ chiều cao ${{h}_{2}}=NP.$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{NP}{AQ}=\dfrac{MN}{MQ}=2\dfrac{HI}{HD}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow NP=\dfrac{2}{3}AQ=\dfrac{1}{3}AD=\dfrac{a}{3}.$
$\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{1}{2}\pi {{r}^{2}}{{h}_{2}}=\dfrac{1}{2}\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}.\dfrac{a}{3}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{72}.$
Vậy thể tích phần còn lại của khối trụ $\left( T \right)$ là: $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{24}+\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{72}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{18}.$
- Chia thành các khối trụ và nửa khối trụ.
- Xác định rõ chiều cao và bán kính đáy của từng phần.
- Thể tích khối trụ có chiều cao $h,$ bán kính đáy $r$ là $V=\pi {{r}^{2}}h.$
Cách giải:
Đáy của hình trụ là hình tròn nội tiếp tam giác đều $DEF$ D nên có bán kính $r=\dfrac{{{S}_{\Delta DEF}}}{{{P}_{\Delta DEF}}}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{3a}{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.$
Phần còn lại của hình trụ $\left( T \right)$ được chia làm 2 phần:
+ Phần 1: Hình trụ có bán kính đáy $r,$ chiều cao ${{h}_{1}}=MH$ với $H$ là trung điểm của $EF.$
Ta có ${{h}_{1}}=MH=\dfrac{1}{2}CF=\dfrac{a}{2}.$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\pi {{r}^{2}}{{h}_{1}}=\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{24}.$
+ Phần 2: Một nửa hình trụ có bán kính đáy $r,$ chiều cao ${{h}_{2}}=NP.$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{NP}{AQ}=\dfrac{MN}{MQ}=2\dfrac{HI}{HD}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow NP=\dfrac{2}{3}AQ=\dfrac{1}{3}AD=\dfrac{a}{3}.$
$\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{1}{2}\pi {{r}^{2}}{{h}_{2}}=\dfrac{1}{2}\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}.\dfrac{a}{3}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{72}.$
Vậy thể tích phần còn lại của khối trụ $\left( T \right)$ là: $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{24}+\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{72}=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{18}.$
Đáp án A.