Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a.$ Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $A'B';B'C'$ và $C'A'.$ Tính thể tích của khối đa diện lồi $ABC.MNP?$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{5}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$
Ta có: ${{V}_{A.A'PM}}={{V}_{B.B'MN}}={{V}_{C.C'NP}}$
${{V}_{ABC.MNP}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-{{V}_{A.A'PM}}-{{V}_{B.B'MN}}-{{V}_{C.C'NP}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-3.{{V}_{A.A'PM}}$
${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.h=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
${{S}_{\Delta A'PM}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}$
${{V}_{A.A'PM}}=\dfrac{1}{4}.{{S}_{\Delta A'PM}}.h=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$
${{V}_{ABC.MNP}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-3.{{V}_{A.A'PM}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}-3.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{5}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}.$
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$
Ta có: ${{V}_{A.A'PM}}={{V}_{B.B'MN}}={{V}_{C.C'NP}}$
${{V}_{ABC.MNP}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-{{V}_{A.A'PM}}-{{V}_{B.B'MN}}-{{V}_{C.C'NP}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-3.{{V}_{A.A'PM}}$
${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.h=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
${{S}_{\Delta A'PM}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}$
${{V}_{A.A'PM}}=\dfrac{1}{4}.{{S}_{\Delta A'PM}}.h=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$
${{V}_{ABC.MNP}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-3.{{V}_{A.A'PM}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}-3.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$
Đáp án C.