Cho lăng trụ tam giác đều $ABC. A'B'C'$ có góc giữa hai mặt phẳng $\left(A'BC \right)$ và $\left(ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}; AB=a.$ Khi đó thể...

Gọi $M$ là trung điểm của $BC,\Delta ABC$ đều nên $AM\bot BC$.
Tam giác $A'BC$ đều nên $A'M\bot BC\Rightarrow BC\bot \left(A'AM \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left(A'AM \right)\cap \left(A'BC \right)=A'M \\
& \left(A'AM \right)\cap \left(ABC \right)=AM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left(A'BC \right);\left(ABC \right)}=\widehat{\left(A'M; AM \right)}=\widehat{A'MA}$
Xét $\Delta AA'M$ vuông tại $A,$ có $\tan \widehat{A'MA}=\dfrac{AA'}{AM}\Rightarrow AA'=\tan {{60}^{0}}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{2}.$
Tứ giác $BCC'B'$ là hình chữ nhật có diện tích ${{S}_{BCC'B'}}=BB'. BC=\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}.$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot BC \\
& AM\bot BB' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot \left(BCC'B' \right)\Rightarrow d\left(A;\left( BCC'B' \right) \right)=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích khối chóp $ABCC'B'$ là ${{V}_{ABCC'B'}}=\dfrac{1}{3}. D\left(A;\left( BCC'B' \right) \right).{{S}_{BCC'B'}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$