Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có góc giữa hai mặt phẳng $(A^{'} B C)$ và $(A B C)$ bằng $60^{0}; A B = a .$ Khi đó thể...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có góc giữa hai mặt phẳng

(A^{'} B C)

và

(A B C)

bằng

60^{0}; A B = a .

Khi đó thể tích của khối đa diện

A B C C^{'} B^{'}

bằng
A.

a^{3} \sqrt{3} .

B.

\frac{3 \sqrt{3}}{4} a^{3} .

C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .

D.

\frac{3 a^{3}}{4} .

Gọi

M

là trung điểm của

B C, Δ A B C

đều nên

A M ⊥ B C

.
Tam giác

A^{'} B C

đều nên

A^{'} M ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (A^{'} A M)

.
Ta có

{\begin{aligned} (A^{'} A M) \cap (A^{'} B C) = A^{'} M \\ (A^{'} A M) \cap (A B C) = A M \end{aligned} \Rightarrow \hat{(A^{'} B C); (A B C)} = \hat{(A^{'} M; A M)} = \hat{A^{'} M A}

Xét

Δ A A^{'} M

vuông tại

A,

có

\tan \hat{A^{'} M A} = \frac{A A^{'}}{A M} \Rightarrow A A^{'} = \tan 60^{0} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3 a}{2} .

Tứ giác

B C C^{'} B^{'}

là hình chữ nhật có diện tích

S_{B C C^{'} B^{'}} = B B^{'} . B C = \frac{3 a^{2}}{2} .

Mà

{\begin{aligned} A M ⊥ B C \\ A M ⊥ B B^{'} \end{aligned} \Rightarrow A M ⊥ (B C C^{'} B^{'}) \Rightarrow d (A; (B C C^{'} B^{'})) = A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

Thể tích khối chóp

A B C C^{'} B^{'}

là

V_{A B C C^{'} B^{'}} = \frac{1}{3} . D (A; (B C C^{'} B^{'})) . S_{B C C^{'} B^{'}} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .

Đáp án C.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC) bằng 600;AB=a. Khi đó thể...