Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có độ dài cạnh đáy và cạnh bên bằng $a$. Gọi $E$ là trung điểm $AA'$ và $F$ thuộc cạnh $BB$ sao cho $BF=2FB$ ; đường thẳng $CE$ cắt đường thẳng $CA$ tại $E$ và đường thẳng $CF$ cắt đường thẳng $CB$ tại $F$. Thể tích khối đa diện $EFABEF$ bằng
A. $\dfrac{19{{a}^{3}}\sqrt{3}}{72}$
B. $\dfrac{17{{a}^{3}}\sqrt{3}}{72}$
C. $\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{72}$
D. $\dfrac{25{{a}^{3}}\sqrt{3}}{72}$
Ta có $C'E'=2A'C'=2a$ và $F'C'=\dfrac{3}{2}B'C'=\dfrac{3}{2}a$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta C'E'F'}}=\dfrac{1}{2}.C'E'.C'F'.\sin A'C'B'=\dfrac{1}{2}\cdot 2a\cdot \dfrac{3}{2}a\cdot \sin {{60}^{\circ }}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}$
$\Rightarrow {{V}_{C.C'E'F'}}=\dfrac{1}{3}\cdot {{S}_{\Delta C'E'F'}}\cdot CC'=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}\cdot a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}$.
${{S}_{ABFE}}=\dfrac{\left( AE+BF \right).AB}{2}=\dfrac{7}{12}{{a}^{2}}=\dfrac{7}{12}.{{S}_{ABB'A'}}\Rightarrow {{V}_{C.ABFE}}=\dfrac{7}{12}{{V}_{C.ABB'A'}}=\dfrac{7}{12}\cdot \dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{7\sqrt{3}}{72}{{a}^{3}}$
${{V}_{CC'EFB'A'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-{{V}_{C.ABFE}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}-\dfrac{7\sqrt{3}}{72}{{a}^{3}}=\dfrac{11\sqrt{3}}{72}{{a}^{3}}$.
${{V}_{EFABEF}}={{V}_{C.C'E'F'}}-{{V}_{CC'EFB'A'}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}-\dfrac{11\sqrt{3}}{72}{{a}^{3}}=\dfrac{7\sqrt{3}}{72}{{a}^{3}}.$
A. $\dfrac{19{{a}^{3}}\sqrt{3}}{72}$
B. $\dfrac{17{{a}^{3}}\sqrt{3}}{72}$
C. $\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{72}$
D. $\dfrac{25{{a}^{3}}\sqrt{3}}{72}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta C'E'F'}}=\dfrac{1}{2}.C'E'.C'F'.\sin A'C'B'=\dfrac{1}{2}\cdot 2a\cdot \dfrac{3}{2}a\cdot \sin {{60}^{\circ }}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}$
$\Rightarrow {{V}_{C.C'E'F'}}=\dfrac{1}{3}\cdot {{S}_{\Delta C'E'F'}}\cdot CC'=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}\cdot a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}$.
${{S}_{ABFE}}=\dfrac{\left( AE+BF \right).AB}{2}=\dfrac{7}{12}{{a}^{2}}=\dfrac{7}{12}.{{S}_{ABB'A'}}\Rightarrow {{V}_{C.ABFE}}=\dfrac{7}{12}{{V}_{C.ABB'A'}}=\dfrac{7}{12}\cdot \dfrac{2}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{7\sqrt{3}}{72}{{a}^{3}}$
${{V}_{CC'EFB'A'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-{{V}_{C.ABFE}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}-\dfrac{7\sqrt{3}}{72}{{a}^{3}}=\dfrac{11\sqrt{3}}{72}{{a}^{3}}$.
${{V}_{EFABEF}}={{V}_{C.C'E'F'}}-{{V}_{CC'EFB'A'}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}-\dfrac{11\sqrt{3}}{72}{{a}^{3}}=\dfrac{7\sqrt{3}}{72}{{a}^{3}}.$
Đáp án C.