Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều ${ABC.A'B'C'}$ có cạnh đáy bằng ${a}$, ${M}$ là trung điểm cạnh ${CC'}$ biết hai mặt phẳng ${\left( {MAB} \right) v{\rm{\`a }} \left( {MA'B'} \right)}$ tạo với nhau góc ${{60^0}}$. Tính thể tích khối lăng trụ ${ABC.A'B'C'}$.
A. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}}$.
B. ${\dfrac{{{a^3}}}{2}}$.
C. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}$.
D. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}}$.
Ta có $A'B'//AB$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( MAB \right)\text{ v }\!\!\backslash\!\!\text{ a }\left( MAB \right)$ qua điểm M và song song AB. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và A'B' suy ra $MI=MK$ và MI, MK cùng vuông góc với AB. Khi đó góc giữa $\left( MAB \right)\text{ v}\backslash a\left( MA'B \right)$ là góc giữa hai đường MI, MK
Xét hai trường hợp.
Trường hợp 1: $\widehat{IMK}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{MIK}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{MIC}={{30}^{0}}$
$\Rightarrow CC'=2CM=2CI.\tan {{30}^{0}}=2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=a$. Suy ra ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Trường hợp 2: $\widehat{IMK}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{MIK}={{30}^{^{0}}}\Rightarrow \widehat{MIC}={{60}^{0}}$
$\Rightarrow CC'=2CM=2CI.\tan {{60}^{0}}=2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=3a$. Suy ra ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.3a=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Không chọn được đáp án theo đề xuất phản biện
A. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}}$.
B. ${\dfrac{{{a^3}}}{2}}$.
C. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}$.
D. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}}$.
Ta có $A'B'//AB$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( MAB \right)\text{ v }\!\!\backslash\!\!\text{ a }\left( MAB \right)$ qua điểm M và song song AB. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và A'B' suy ra $MI=MK$ và MI, MK cùng vuông góc với AB. Khi đó góc giữa $\left( MAB \right)\text{ v}\backslash a\left( MA'B \right)$ là góc giữa hai đường MI, MK
Xét hai trường hợp.
Trường hợp 1: $\widehat{IMK}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{MIK}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{MIC}={{30}^{0}}$
$\Rightarrow CC'=2CM=2CI.\tan {{30}^{0}}=2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}=a$. Suy ra ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Trường hợp 2: $\widehat{IMK}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{MIK}={{30}^{^{0}}}\Rightarrow \widehat{MIC}={{60}^{0}}$
$\Rightarrow CC'=2CM=2CI.\tan {{60}^{0}}=2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=3a$. Suy ra ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.3a=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Không chọn được đáp án theo đề xuất phản biện
Đáp án A.