Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có $AA'=a$. Khoảng cách giữa $AB'$ và $CC'$ bằng $a\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
B. ${{a}^{3}}\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
Ta có $BB'//CC'\Rightarrow CC'//\left( ABB' \right)$ hay $CC'//\left( ABB'A' \right).$
Do đó $d\left( AB',CC' \right)=d\left( CC',\left( ABB'A' \right) \right)=d\left( C,\left( ABB'A' \right) \right).$
Kẻ $CH\bot AB$ tại $H.$
Ta có $CH\bot AB$ và $CH\bot BB'$ nên $CH\bot \left( ABB'A' \right).$
Do đó $d\left( AB',CC' \right)=d\left( C,\left( ABB'A' \right) \right)=CH=a\sqrt{3}.$
Trong tam giác $ABC$ có $H{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{B{{C}^{2}}}{4}+3{{a}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow BC=2a.$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{ABC}}=AA'.\dfrac{1}{2}BA.BC.\sin {{60}^{0}}=a.\dfrac{1}{2}.2a.2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
B. ${{a}^{3}}\sqrt{3}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
Ta có $BB'//CC'\Rightarrow CC'//\left( ABB' \right)$ hay $CC'//\left( ABB'A' \right).$
Do đó $d\left( AB',CC' \right)=d\left( CC',\left( ABB'A' \right) \right)=d\left( C,\left( ABB'A' \right) \right).$
Kẻ $CH\bot AB$ tại $H.$
Ta có $CH\bot AB$ và $CH\bot BB'$ nên $CH\bot \left( ABB'A' \right).$
Do đó $d\left( AB',CC' \right)=d\left( C,\left( ABB'A' \right) \right)=CH=a\sqrt{3}.$
Trong tam giác $ABC$ có $H{{B}^{2}}+H{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{B{{C}^{2}}}{4}+3{{a}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow BC=2a.$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{ABC}}=AA'.\dfrac{1}{2}BA.BC.\sin {{60}^{0}}=a.\dfrac{1}{2}.2a.2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Đáp án B.