Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có $A A^{'} = a$ . Khoảng cách giữa $A B^{'}$ và $C C^{'}$ bằng $a \sqrt{3}$ . Thể tích khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có

A A^{'} = a

. Khoảng cách giữa

A B^{'}

và

C C^{'}

bằng

a \sqrt{3}

. Thể tích khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

A.

\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3} .

B.

a^{3} \sqrt{3} .

C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}

D.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

Ta có

B B^{'} / / C C^{'} \Rightarrow C C^{'} / / (A B B^{'})

hay

C C^{'} / / (A B B^{'} A^{'}) .

Do đó

d (A B^{'}, C C^{'}) = d (C C^{'}, (A B B^{'} A^{'})) = d (C, (A B B^{'} A^{'})) .

Kẻ

C H ⊥ A B

tại

H .

Ta có

C H ⊥ A B

và

C H ⊥ B B^{'}

nên

C H ⊥ (A B B^{'} A^{'}) .

Do đó

d (A B^{'}, C C^{'}) = d (C, (A B B^{'} A^{'})) = C H = a \sqrt{3} .

Trong tam giác

A B C

có

H B^{2} + H C^{2} = B C^{2} \Leftrightarrow \frac{B C^{2}}{4} + 3 a^{2} = B C^{2} \Leftrightarrow B C = 2 a .

Vậy

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} . S_{A B C} = A A^{'} . \frac{1}{2} B A . B C . \sin 60^{0} = a . \frac{1}{2} .2 a .2 a . \frac{\sqrt{3}}{2} = a^{3} \sqrt{3} .

Đáp án B.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AA′=a. Khoảng cách giữa AB′ và CC′ bằng a3. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′