Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh đáy bằng $a$ ...

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có cạnh đáy bằng

a

. Góc tạo bởi đường thẳng

A^{'} B

và mặt phẳng

(A A^{'} C)

bằng

30^{0}

. Thể tích khối lăng trụ bằng
A.

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}

.
B.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}

.
C.

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}

.
D.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

.

Gọi

I

là trung điểm của cạnh

A C

. Khi đó,

B I ⊥ A C

(do tam giác

A B C

đều).
Lại có,

{\begin{aligned} (A A^{'} C^{'} C) ⊥ (A B C) (tinh chat hinh lang tru deu) \\ (A A^{'} C^{'} C) \cap (A B C) = A C \\ B I \subset (A B C) \end{aligned}

nên

B I ⊥ (A A^{'} C^{'} C) \Rightarrow B I ⊥ (A A^{'} C)

. Do đó, góc tạo bởi đường thẳng

A^{'} B

và mặt phẳng

(A A^{'} C)

chính là góc

\hat{B A^{'} I} = 30^{0}

.
Xét tam giác

A^{'} B I

vuông tại

I

, ta có:

\sin \hat{B A^{'} I} = \frac{B I}{A^{'} B} \Rightarrow A^{'} B = \frac{B I}{\sin \hat{B A^{'} I}} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{\sin 30^{0}} = a \sqrt{3}

.

\Rightarrow A A^{'} = \sqrt{A^{'} B^{2} - A B^{2}} = a \sqrt{2} .

Ta có:

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . A A^{'} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a \sqrt{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4} .

Đáp án A.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a...