Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng $a$. Góc tạo bởi đường thẳng ${A}'B$ và mặt phẳng $\left( A{A}'C \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. Thể tích khối lăng trụ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $AC$. Khi đó, $BI\bot AC$ (do tam giác $ABC$ đều).
Lại có, $\left\{ \begin{aligned}
& \left( AA'C'C \right)\bot \left( ABC \right)\text{ (tinh chat hinh lang tru deu}) \\
& \left( AA'C'C \right)\cap \left( ABC \right)=AC \\
& BI\subset \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right.$
nên $BI\bot \left( AA'C'C \right)\Rightarrow BI\bot \left( AA'C \right)$. Do đó, góc tạo bởi đường thẳng $A'B$ và mặt phẳng $\left( AA'C \right)$ chính là góc $\widehat{BA'I}={{30}^{0}}$.
Xét tam giác $A'BI$ vuông tại $I$, ta có: $\sin \widehat{BA'I}=\dfrac{BI}{A'B}\Rightarrow A'B=\dfrac{BI}{\sin \widehat{BA'I}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sin {{30}^{0}}}=a\sqrt{3}$.
$\Rightarrow AA'=\sqrt{A'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Ta có: ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.AA'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Lại có, $\left\{ \begin{aligned}
& \left( AA'C'C \right)\bot \left( ABC \right)\text{ (tinh chat hinh lang tru deu}) \\
& \left( AA'C'C \right)\cap \left( ABC \right)=AC \\
& BI\subset \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right.$
nên $BI\bot \left( AA'C'C \right)\Rightarrow BI\bot \left( AA'C \right)$. Do đó, góc tạo bởi đường thẳng $A'B$ và mặt phẳng $\left( AA'C \right)$ chính là góc $\widehat{BA'I}={{30}^{0}}$.
Xét tam giác $A'BI$ vuông tại $I$, ta có: $\sin \widehat{BA'I}=\dfrac{BI}{A'B}\Rightarrow A'B=\dfrac{BI}{\sin \widehat{BA'I}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sin {{30}^{0}}}=a\sqrt{3}$.
$\Rightarrow AA'=\sqrt{A'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Ta có: ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.AA'=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}.$
Đáp án A.