Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.$ Biết tam giác $ABC$ đều cạnh a và $A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}.$ Góc giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và mặt phẳng...

Phương pháp giải:
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là góc giữa đường thẳng d và $d^{\prime }$ với $d^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của d trên $\left(\alpha \right).$
Giải chi tiết:

Ta có: $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là hình lăng trụ đứng
$\Rightarrow A{A}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$
$\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của $A{B}^{\prime }$ trên $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$
$\Rightarrow \mathrm{\angle }(A{B}^{\prime };\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right))=\mathrm{\angle }(A{B}^{\prime };A^{\prime }{B}^{\prime })=\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }A$
Xét $\mathrm{\Delta }A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ vuông tại $A^{\prime }$ ta có:
$\tan \mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }A={\displaystyle \frac{A{A}^{\prime }}{A^{\prime }{B}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{a}}=\sqrt{3}\Rightarrow \mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }A={60}^0.$