Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'.$ Biết tam giác $ABC$ đều cạnh a và $A{A}'=a\sqrt{3}.$ Góc giữa hai đường thẳng $A{B}'$ và mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ bằng bao nhiêu?
A. ${{60}^{0}}$
B. ${{45}^{0}}$
C. ${{30}^{0}}$
D. ${{90}^{0}}$
A. ${{60}^{0}}$
B. ${{45}^{0}}$
C. ${{30}^{0}}$
D. ${{90}^{0}}$
Phương pháp giải:
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là góc giữa đường thẳng d và ${d}'$ với ${d}'$ là hình chiếu vuông góc của d trên $\left( \alpha \right).$
Giải chi tiết:
Ta có: $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là hình lăng trụ đứng
$\Rightarrow A{A}'\bot \left( {A}'{B}'{C}' \right)$
$\Rightarrow {A}'{B}'$ là hình chiếu vuông góc của $A{B}'$ trên $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$
$\Rightarrow \angle \left( A{B}';\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=\angle \left( A{B}';{A}'{B}' \right)=\angle {A}'{B}'A$
Xét $\Delta A{A}'{B}'$ vuông tại ${A}'$ ta có:
$\tan \angle {A}'{B}'A=\dfrac{A{A}'}{{A}'{B}'}=\dfrac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \angle {A}'{B}'A={{60}^{0}}.$
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là góc giữa đường thẳng d và ${d}'$ với ${d}'$ là hình chiếu vuông góc của d trên $\left( \alpha \right).$
Giải chi tiết:
Ta có: $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là hình lăng trụ đứng
$\Rightarrow A{A}'\bot \left( {A}'{B}'{C}' \right)$
$\Rightarrow {A}'{B}'$ là hình chiếu vuông góc của $A{B}'$ trên $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$
$\Rightarrow \angle \left( A{B}';\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=\angle \left( A{B}';{A}'{B}' \right)=\angle {A}'{B}'A$
Xét $\Delta A{A}'{B}'$ vuông tại ${A}'$ ta có:
$\tan \angle {A}'{B}'A=\dfrac{A{A}'}{{A}'{B}'}=\dfrac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \angle {A}'{B}'A={{60}^{0}}.$
Đáp án A.