Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và mặt bên $ABB'A'$ là hình vuông cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ bên).
Tính tang của góc giữa đường thẳng $BC'$ và mặt phẳng $\left( ABB'A' \right).$
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
D. $\sqrt{2}.$
$\Delta ABC$ vuông cân tại A nên $\Rightarrow AB=AC=a.$
$\Delta ABA'$ vuông tại $A$ nên $\Rightarrow A'B=a\sqrt{2}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& C'A'\bot A'B' \\
& C'A'\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow C'A'\bot \left( ABB'A' \right).$
$\Rightarrow BA'$ là hình chiếu của $BC'$ lên mặt phẳng $\left( ABB'A' \right).$
$\Rightarrow \left( BC',\left( ABB'A' \right) \right)=\left( BC',BA' \right)$
$\Delta A'BC'$ vuông tại $A'\Rightarrow \tan \widehat{A'BC'}=\dfrac{A'C'}{A'B}=\dfrac{a}{a\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Tính tang của góc giữa đường thẳng $BC'$ và mặt phẳng $\left( ABB'A' \right).$
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
D. $\sqrt{2}.$
$\Delta ABC$ vuông cân tại A nên $\Rightarrow AB=AC=a.$
$\Delta ABA'$ vuông tại $A$ nên $\Rightarrow A'B=a\sqrt{2}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& C'A'\bot A'B' \\
& C'A'\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow C'A'\bot \left( ABB'A' \right).$
$\Rightarrow BA'$ là hình chiếu của $BC'$ lên mặt phẳng $\left( ABB'A' \right).$
$\Rightarrow \left( BC',\left( ABB'A' \right) \right)=\left( BC',BA' \right)$
$\Delta A'BC'$ vuông tại $A'\Rightarrow \tan \widehat{A'BC'}=\dfrac{A'C'}{A'B}=\dfrac{a}{a\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Đáp án A.