Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có cạnh $BC=2a,$ góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( A'BC \right)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Biết diện tích của tam giác $\Delta A'BC$ bằng $2{{a}^{2}}.$ Tính thể tích V của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$
A. $V=3{{a}^{3}}.$
B. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
C. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
A. $V=3{{a}^{3}}.$
B. $V={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
C. $V=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Gọi H là hình chiếu của A trên $BC\Rightarrow AH\bot BC.$
Ta có $AA'\bot (ABC)\Rightarrow AA'\bot BC$ và $AH\bot BC\Rightarrow BC\bot (A'AH)$ $\Rightarrow \widehat{((ABC);(A'BC))}=\widehat{A'HA}={{60}^{0}}.$
Diện tích $\Delta A'BC$ là ${{S}_{\Delta A'BC}}=\dfrac{1}{2}.A'H.BC\Rightarrow A'H=\dfrac{2.{{S}_{\Delta A'BC}}}{BC}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{2a}=2a.$
$\sin \widehat{A'HA}=\dfrac{AA'}{A'H}\Rightarrow AA'=\sin {{60}^{0}}.2a=a\sqrt{3}$, $AH=\sqrt{A'{{H}^{2}}-A'{{A}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=a\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AH.BC={{a}^{2}}.$
Vậy thể tích lăng trụ là ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{3}.a{}^{2}={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Ta có $AA'\bot (ABC)\Rightarrow AA'\bot BC$ và $AH\bot BC\Rightarrow BC\bot (A'AH)$ $\Rightarrow \widehat{((ABC);(A'BC))}=\widehat{A'HA}={{60}^{0}}.$
Diện tích $\Delta A'BC$ là ${{S}_{\Delta A'BC}}=\dfrac{1}{2}.A'H.BC\Rightarrow A'H=\dfrac{2.{{S}_{\Delta A'BC}}}{BC}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{2a}=2a.$
$\sin \widehat{A'HA}=\dfrac{AA'}{A'H}\Rightarrow AA'=\sin {{60}^{0}}.2a=a\sqrt{3}$, $AH=\sqrt{A'{{H}^{2}}-A'{{A}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=a\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AH.BC={{a}^{2}}.$
Vậy thể tích lăng trụ là ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{3}.a{}^{2}={{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Đáp án B.