Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, cạnh $BC=a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $A{A}'$, biết hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(M{B}'{C}')$ vuông góc với nhau, thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
Đặt $A{A}'=h$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& M\in \left( MBC \right)\cap \left( M{B}'{C}' \right) \\
& BC\subset \left( MBC \right);{B}'{C}'\subset \left( M{B}'{C}' \right) \\
& BC//{B}'{C}' \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left( MBC \right)\cap \left( M{B}'{C}' \right)=\Delta $, với $ \Delta $ qua $ M $ và $ \Delta //BC//{B}'{C}'$.
Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và ${B}'{C}'$, khi đó $MI\bot BC$, $MJ\bot {B}'{C}'$ (vì các tam giác $MBC$ và $M{B}'{C}'$ cân tại $M$ ), hay $MI\bot \Delta $, $MJ\bot \Delta $.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( MBC \right)\cap \left( M{B}'{C}' \right)=\Delta \\
& MI\subset \left( MBC \right),MI\bot \Delta \\
& MJ\subset \left( M{B}'{C}' \right),MJ\bot \Delta \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( (MBC);(M{B}'{C}') \right)=\left( MI;MJ \right)=90{}^\circ $.
Ta có : $AB=AC=\dfrac{a}{\sqrt{2}};AI=\dfrac{a}{2}$ ; $MI=MJ=\sqrt{M{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{h}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}$.
Xét tam giác $MIJ$ vuông cân tại $M$ có: $I{{J}^{2}}=2M{{I}^{2}}\Leftrightarrow {{h}^{2}}=\dfrac{{{h}^{2}}}{2}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow h=a$.
Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là : ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.A{A}'=\dfrac{1}{2}.AB.AC.A{A}'=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\dfrac{a}{\sqrt{2}}.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& M\in \left( MBC \right)\cap \left( M{B}'{C}' \right) \\
& BC\subset \left( MBC \right);{B}'{C}'\subset \left( M{B}'{C}' \right) \\
& BC//{B}'{C}' \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \left( MBC \right)\cap \left( M{B}'{C}' \right)=\Delta $, với $ \Delta $ qua $ M $ và $ \Delta //BC//{B}'{C}'$.
Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và ${B}'{C}'$, khi đó $MI\bot BC$, $MJ\bot {B}'{C}'$ (vì các tam giác $MBC$ và $M{B}'{C}'$ cân tại $M$ ), hay $MI\bot \Delta $, $MJ\bot \Delta $.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( MBC \right)\cap \left( M{B}'{C}' \right)=\Delta \\
& MI\subset \left( MBC \right),MI\bot \Delta \\
& MJ\subset \left( M{B}'{C}' \right),MJ\bot \Delta \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( (MBC);(M{B}'{C}') \right)=\left( MI;MJ \right)=90{}^\circ $.
Ta có : $AB=AC=\dfrac{a}{\sqrt{2}};AI=\dfrac{a}{2}$ ; $MI=MJ=\sqrt{M{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{h}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}$.
Xét tam giác $MIJ$ vuông cân tại $M$ có: $I{{J}^{2}}=2M{{I}^{2}}\Leftrightarrow {{h}^{2}}=\dfrac{{{h}^{2}}}{2}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow h=a$.
Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là : ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.A{A}'=\dfrac{1}{2}.AB.AC.A{A}'=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\dfrac{a}{\sqrt{2}}.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án B.