Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $A B=a$, $A{A}'=2a$, góc giữa 2 mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ và $\left( AC{C}'{A}' \right)$ bằng $60{}^\circ $. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$. Diện tích xung quanh của mặt cầu $(S)$ là
A. $8 \pi a^{2}$.
B. $16 \pi a^{2}$.
C. $2 \pi a^{2}$.
D. $\dfrac{8 \pi a^{2}}{3}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,{A}'{C}'$ suy ra $M,N$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC,{A}'{B}'{C}'$.
Gọi $I$ là trung điểm của $MN$ $\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$
Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=I{A}'$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( AB{B}'{A}' \right)\cap \left( AC{C}'{A}' \right)=A{A}' \\
& A{C}'\subset \left( AC{C}'{A}' \right),{A}'{C}'\bot A{A}' \\
& A{B}'\subset \left( AB{B}'{A}' \right),{A}'{B}'\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \widehat{\left( \left( AB{B}'{A}' \right),\left( AC{C}'{A}' \right) \right)}=\widehat{\left( {A}'{C}',{A}'{B}' \right)}=\widehat{{B}'{A}'{C}'}=60{}^\circ $
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow {A}'{C}'=\dfrac{{A}'{B}'}{\cos 60{}^\circ }=2a$ $\Rightarrow {A}'M=a$.
$IM=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{1}{2}A{A}'=a$
Xét tam giác $IM{A}'$ vuông tại $M$ : $R=I{A}'=\sqrt{I{{M}^{2}}+M{{{{A}'}}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Diện tích mặt cầu $\left( S \right)$ bằng $S=4\pi {{R}^{2}}=8{{a}^{2}}$.
A. $8 \pi a^{2}$.
B. $16 \pi a^{2}$.
C. $2 \pi a^{2}$.
D. $\dfrac{8 \pi a^{2}}{3}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $MN$ $\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$
Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=I{A}'$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( AB{B}'{A}' \right)\cap \left( AC{C}'{A}' \right)=A{A}' \\
& A{C}'\subset \left( AC{C}'{A}' \right),{A}'{C}'\bot A{A}' \\
& A{B}'\subset \left( AB{B}'{A}' \right),{A}'{B}'\bot A{A}' \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \widehat{\left( \left( AB{B}'{A}' \right),\left( AC{C}'{A}' \right) \right)}=\widehat{\left( {A}'{C}',{A}'{B}' \right)}=\widehat{{B}'{A}'{C}'}=60{}^\circ $
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow {A}'{C}'=\dfrac{{A}'{B}'}{\cos 60{}^\circ }=2a$ $\Rightarrow {A}'M=a$.
$IM=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{1}{2}A{A}'=a$
Xét tam giác $IM{A}'$ vuông tại $M$ : $R=I{A}'=\sqrt{I{{M}^{2}}+M{{{{A}'}}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Diện tích mặt cầu $\left( S \right)$ bằng $S=4\pi {{R}^{2}}=8{{a}^{2}}$.
Đáp án A.