Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AC=2, AB=\sqrt{3}$ và $A{A}'=1$ (tham khảo hình vẽ bên dưới)
Góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC' \right)$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng
A. ${{30}^{\text{o}}}$.
B. ${{45}^{\text{o}}}$.
C. ${{90}^{\text{o}}}$.
D. ${{60}^{\text{o}}}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot BC \\
& AB\bot C'C \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot BC'$.
Hai mặt phẳng $\left( ABC' \right)$ và $\left( ABC \right)$ cắt nhau theo giao tuyến $AB$.
$\left\{ \begin{aligned}
& BC'\subset \left( ABC' \right), BC'\bot AB \\
& BC\subset \left( ABC \right), BC\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ $ \left( \widehat{\left( ABC' \right),\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{BC',BC} \right)=\widehat{C'BC}$.
Xét tam giác $C'BC$ vuông tại $C$ có $CC'=1$ và $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=1$. Do đó tam giác $C'BC$ vuông cân tại $C$ suy ra $\widehat{C'BC}={{45}^{\text{o}}}$.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC' \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng ${{45}^{\text{o}}}$.
A. ${{30}^{\text{o}}}$.
B. ${{45}^{\text{o}}}$.
C. ${{90}^{\text{o}}}$.
D. ${{60}^{\text{o}}}$.
& AB\bot BC \\
& AB\bot C'C \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot BC'$.
Hai mặt phẳng $\left( ABC' \right)$ và $\left( ABC \right)$ cắt nhau theo giao tuyến $AB$.
$\left\{ \begin{aligned}
& BC'\subset \left( ABC' \right), BC'\bot AB \\
& BC\subset \left( ABC \right), BC\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ $ \left( \widehat{\left( ABC' \right),\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{BC',BC} \right)=\widehat{C'BC}$.
Xét tam giác $C'BC$ vuông tại $C$ có $CC'=1$ và $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=1$. Do đó tam giác $C'BC$ vuông cân tại $C$ suy ra $\widehat{C'BC}={{45}^{\text{o}}}$.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC' \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng ${{45}^{\text{o}}}$.
Đáp án B.