Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy $BC=2a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( {A}'BC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Biết diện tích tam giác ${A}'BC$ bằng $2{{a}^{2}}$. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $V=\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$.
B. $V=3 a^{3}$.
C. $V=a^{3} \sqrt{3}$.
D. $V=\dfrac{2 a^{3}}{3}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $B C$, khi đó $\widehat {\left( {\left( {{A^\prime }BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {AH{A^\prime }} = {60^^\circ }$.
Áp dụng công thức diện tích hình chiếu ta có: $S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A^{\prime} B C} \cdot \cos 60^{\circ}=2 a^{2} \cdot \dfrac{1}{2}=a^{2}$
Mặt khác, $S_{\triangle A B C}=\dfrac{1}{2} A H . B C \Rightarrow A H=\dfrac{2 S_{\triangle A B C}}{B C}=\dfrac{2 a^{2}}{2 a}=a$.
Khi đó $A A^{\prime}=A H \cdot \tan 60^{\circ}=a \sqrt{3}$.
$
\text { Vậy } V_{A B C \cdot A^{\prime} B C}=S_{\triangle A B C} \cdot A^{\prime} A=a^{2} \cdot a \sqrt{3}=a^{3} \sqrt{3} \text {. }
$
A. $V=\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$.
B. $V=3 a^{3}$.
C. $V=a^{3} \sqrt{3}$.
D. $V=\dfrac{2 a^{3}}{3}$.
Áp dụng công thức diện tích hình chiếu ta có: $S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A^{\prime} B C} \cdot \cos 60^{\circ}=2 a^{2} \cdot \dfrac{1}{2}=a^{2}$
Mặt khác, $S_{\triangle A B C}=\dfrac{1}{2} A H . B C \Rightarrow A H=\dfrac{2 S_{\triangle A B C}}{B C}=\dfrac{2 a^{2}}{2 a}=a$.
Khi đó $A A^{\prime}=A H \cdot \tan 60^{\circ}=a \sqrt{3}$.
$
\text { Vậy } V_{A B C \cdot A^{\prime} B C}=S_{\triangle A B C} \cdot A^{\prime} A=a^{2} \cdot a \sqrt{3}=a^{3} \sqrt{3} \text {. }
$
Đáp án C.