Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đều ${ABC.{A}'{B}'{C}'}$ có tất cả các cạnh đều bằng ${2a}$. Gọi ${M,N}$ lần lượt trung điểm cạnh ${{A}'{B}', B{B}'}$. Tính cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng ${\left( M{C}'N \right)}$, ${\left( AC{C}'{A}' \right)}$.
A. ${\dfrac{\sqrt{2}}{4}}$.
B. ${\dfrac{\sqrt{6}}{4}}$.
C. ${\dfrac{\sqrt{3}}{4}}$.
D. ${\dfrac{3}{4}}$.
Gọi Hlà trung điểm của A'C'. Do lăng trụ $ABC,A'B'C'$ đều và $BH\bot A'C',MC'\bot A'B'$ nên ta có: $B'H\bot \left( ACC'A' \right)\left( 1 \right)$ và $MC'\bot \left( ABB'A' \right)\left( 2 \right)$
Từ (1) suy ra $B'H\bot AH\left( 3 \right).$
Từ (2) suy ra $~MC'\bot AB'$, mà $ABB'A'$ là hình vuông và $MN//A'B$ nên $AB'\bot MN$
$\Rightarrow AB'\bot \left( MNC' \right)$ (4).
Từ (1), (3), (4) suy ra góc hợp bởi hai mặt phẳng $\left( MC'N \right),\left( ACC'A' \right)$ là $\widehat{AB'H.}$
Xét $\Delta A'B'C'$ đều cạnh 2a ta có: $B'H=\dfrac{A'B'\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$
$ABB'A'$ là hình vuông cạnh 2a nên $AB'=2a\sqrt{2}.$
Xét $~\Delta AHB'$ vuông tại H có: $\cos \widehat{AB'H}=\dfrac{B'H}{AB'}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$
Vậy cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng $\left( MC'N \right)\left( ACC'A' \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$
A. ${\dfrac{\sqrt{2}}{4}}$.
B. ${\dfrac{\sqrt{6}}{4}}$.
C. ${\dfrac{\sqrt{3}}{4}}$.
D. ${\dfrac{3}{4}}$.
Gọi Hlà trung điểm của A'C'. Do lăng trụ $ABC,A'B'C'$ đều và $BH\bot A'C',MC'\bot A'B'$ nên ta có: $B'H\bot \left( ACC'A' \right)\left( 1 \right)$ và $MC'\bot \left( ABB'A' \right)\left( 2 \right)$
Từ (1) suy ra $B'H\bot AH\left( 3 \right).$
Từ (2) suy ra $~MC'\bot AB'$, mà $ABB'A'$ là hình vuông và $MN//A'B$ nên $AB'\bot MN$
$\Rightarrow AB'\bot \left( MNC' \right)$ (4).
Từ (1), (3), (4) suy ra góc hợp bởi hai mặt phẳng $\left( MC'N \right),\left( ACC'A' \right)$ là $\widehat{AB'H.}$
Xét $\Delta A'B'C'$ đều cạnh 2a ta có: $B'H=\dfrac{A'B'\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$
$ABB'A'$ là hình vuông cạnh 2a nên $AB'=2a\sqrt{2}.$
Xét $~\Delta AHB'$ vuông tại H có: $\cos \widehat{AB'H}=\dfrac{B'H}{AB'}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$
Vậy cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng $\left( MC'N \right)\left( ACC'A' \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$
Đáp án B.