Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ đều ${ABC.{A}'{B}'{C}'}$ có cạnh đáy bằng ${1}$, cạnh bên bằng ${\sqrt{3}}$. Gọi ${M}$ là trung điểm của ${C{C}'}$. Khi đó, sin của góc giữa hai mặt phẳng ${\left( AC{B}' \right)}$ và ${\left( BM{A}' \right)}$ là
A. ${\dfrac{2}{\sqrt{5}}}$.
B. ${\dfrac{\sqrt{21}}{5}}$.
C. ${\dfrac{1}{\sqrt{5}}}$.
D. ${\dfrac{2}{5}}$.
Chọn hệ trục tọa độ $O\And xyz$ như hình vẽ, khi đó tọa độ các điểm là:
$A=O\left( 0;0;0 \right);B\left( 0;1;0 \right);C\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};0 \right);A'\left( 0;0;\sqrt{3} \right);B'\left( 0;1;\sqrt{3} \right);C'\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};\sqrt{3} \right);M\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$
Ta có:
$\overrightarrow{AB'}=\left( 0;1;\sqrt{3} \right);\overrightarrow{AC}=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};0 \right);\left[ \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right)$
$\Rightarrow $ véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( ACB' \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\left( 1;-\sqrt{3};1 \right)$
$\overrightarrow{BA'}=\left( 0;0;\sqrt{3} \right);\overrightarrow{BM}=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{-1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right);\left[ \overrightarrow{BA'};\overrightarrow{BM} \right]=\left( 0;3;\sqrt{3} \right)$
$\Rightarrow $ véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( BMA' \right)$ là nó $\overrightarrow{{{n}_{2}}}\left( 0;\sqrt{3};1 \right)$
Do đó, $\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha =1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$
Từ đây ta suy ra $\sin \alpha =\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
A. ${\dfrac{2}{\sqrt{5}}}$.
B. ${\dfrac{\sqrt{21}}{5}}$.
C. ${\dfrac{1}{\sqrt{5}}}$.
D. ${\dfrac{2}{5}}$.
Chọn hệ trục tọa độ $O\And xyz$ như hình vẽ, khi đó tọa độ các điểm là:
$A=O\left( 0;0;0 \right);B\left( 0;1;0 \right);C\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};0 \right);A'\left( 0;0;\sqrt{3} \right);B'\left( 0;1;\sqrt{3} \right);C'\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};\sqrt{3} \right);M\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$
Ta có:
$\overrightarrow{AB'}=\left( 0;1;\sqrt{3} \right);\overrightarrow{AC}=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};0 \right);\left[ \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right)$
$\Rightarrow $ véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( ACB' \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\left( 1;-\sqrt{3};1 \right)$
$\overrightarrow{BA'}=\left( 0;0;\sqrt{3} \right);\overrightarrow{BM}=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{-1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right);\left[ \overrightarrow{BA'};\overrightarrow{BM} \right]=\left( 0;3;\sqrt{3} \right)$
$\Rightarrow $ véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( BMA' \right)$ là nó $\overrightarrow{{{n}_{2}}}\left( 0;\sqrt{3};1 \right)$
Do đó, $\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha =1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$
Từ đây ta suy ra $\sin \alpha =\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
Đáp án A.