Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=\sqrt{6}$, $AD=\sqrt{3}$ ${A}'C=3$ và mặt phẳng $\left( A{A}'{C}'C \right)$ vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng $\left( A{A}'{C}'C \right)$, $\left( A{A}'{B}'B \right)$ tạo với nhau góc $\alpha $ có $\tan \alpha =\frac{3}{4}$. Thể tích của khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là
A. $V=12$.
B. $V=6$.
C. $V=8$.
D. $V=10$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $A'C'\Rightarrow AH\bot \left( A'B'C'D' \right)$
$I,N$ lần lượt là hình chiếu của $B',I$ lên $A'C',AA'\Rightarrow \left( NIB' \right)\bot AA'\Rightarrow \alpha =\widehat{B'NI}$
Ta có $B'I=\frac{\sqrt{6}.\sqrt{3}}{3}=\sqrt{2}\Rightarrow IC'=1$
$\Rightarrow \tan \alpha =\frac{B'I}{NI}\Rightarrow NI=\frac{4\sqrt{2}}{3}\Rightarrow C'M=2\sqrt{2}$
$\Rightarrow AA'=2\sqrt{A'C{{'}^{2}}-MC{{'}^{2}}}=2$
Ta có $AH.A'C'=C'M.AA'\Rightarrow AH=\frac{4\sqrt{2}}{3}$
$V=\frac{4\sqrt{2}}{3}.\sqrt{6}.\sqrt{3}=8$
A. $V=12$.
B. $V=6$.
C. $V=8$.
D. $V=10$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $A'C'\Rightarrow AH\bot \left( A'B'C'D' \right)$
$I,N$ lần lượt là hình chiếu của $B',I$ lên $A'C',AA'\Rightarrow \left( NIB' \right)\bot AA'\Rightarrow \alpha =\widehat{B'NI}$
Ta có $B'I=\frac{\sqrt{6}.\sqrt{3}}{3}=\sqrt{2}\Rightarrow IC'=1$
$\Rightarrow \tan \alpha =\frac{B'I}{NI}\Rightarrow NI=\frac{4\sqrt{2}}{3}\Rightarrow C'M=2\sqrt{2}$
$\Rightarrow AA'=2\sqrt{A'C{{'}^{2}}-MC{{'}^{2}}}=2$
Ta có $AH.A'C'=C'M.AA'\Rightarrow AH=\frac{4\sqrt{2}}{3}$
$V=\frac{4\sqrt{2}}{3}.\sqrt{6}.\sqrt{3}=8$
Đáp án C.