Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=a, BC=2a$, biết hình chiếu của $A'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trung điểm của cạnh $BC$. Góc giữa $AA'$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Khi đó thể tích của hình trụ $ABC.A'B'C'$ bằng:
A. $\dfrac{1}{2}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{1}{3}{{a}^{3}}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, theo giả thiết ta có $AI\bot \left( ABC \right)$.
Hình chiếu của $A{A}'$ lên mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ là $AI$.
Suy ra $\left( A{A}'; \left( ABC \right) \right)=\left( A{A}'; AI \right)=\widehat{{A}'AI}={{60}^{\circ }}$.
Ta có $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$ ; Do đó ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Mặt khác, $AI=\dfrac{1}{2}BC=a$ nên ${A}'I=AI.\tan \widehat{{A}'AI}=a\sqrt{3}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.{A}'I=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
A. $\dfrac{1}{2}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{1}{6}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{1}{3}{{a}^{3}}$.
Hình chiếu của $A{A}'$ lên mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ là $AI$.
Suy ra $\left( A{A}'; \left( ABC \right) \right)=\left( A{A}'; AI \right)=\widehat{{A}'AI}={{60}^{\circ }}$.
Ta có $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$ ; Do đó ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Mặt khác, $AI=\dfrac{1}{2}BC=a$ nên ${A}'I=AI.\tan \widehat{{A}'AI}=a\sqrt{3}$.
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.{A}'I=\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
Đáp án C.