Cho lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác vuông tại $B$ với $A B = a .$ Hình chiếu vuông góc của đỉnh $A^{'}$ lên mặt phẳng $(A B C)$ là...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy là tam giác vuông tại

B

với

A B = a .

Hình chiếu vuông góc của đỉnh

A^{'}

lên mặt phẳng

(A B C)

là điểm

H

trên cạnh

A B

sao cho

H A = 2 H B .

Biết

A^{'} H = \frac{a \sqrt{2}}{3} .

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

A A^{'}

và

B C

theo

a .

A.

\frac{a \sqrt{3}}{6} .

B.

\frac{a \sqrt{3}}{3} .

C.

\frac{a \sqrt{3}}{2} .

D.

\frac{2 a \sqrt{3}}{3} .

Ta có

A A^{'} / / B B^{'} \Rightarrow A A^{'} / / (B C C^{'} B^{'})

mà

B C \subset (B C C^{'} B^{'})

\Rightarrow d (A A^{'}, B C) = d (A A^{'}, (B C C^{'} B^{'})) = d (A, (B C C^{'} B^{'})) = 3 d (H, (B C C^{'} B^{'}))

Ta có:

A^{'} H ⊥ (A B C) \Rightarrow A^{'} H ⊥ B C; B C ⊥ A B \Rightarrow B C ⊥ (A B B^{'} A^{'}) \Rightarrow (A B B^{'} A^{'}) ⊥ (B C C^{'} B^{'})

Kẻ

H K ⊥ B B^{'} \Rightarrow H K ⊥ (B C C^{'} B^{'}) \Rightarrow d (H; (B C C^{'} B^{'})) = H K

Gọi

I = A^{'} H \cap B B^{'} .

Ta có

\frac{I H}{I A^{'}} = \frac{H B}{A^{'} B^{'}} = \frac{\frac{a}{3}}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow H I = \frac{1}{2} H A^{'} = \frac{a \sqrt{2}}{6}

\Rightarrow H K = \frac{H B . H I}{\sqrt{H B^{2} + H I^{2}}} = \frac{\frac{a}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{6}}{\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{6})}^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{9} a

\Rightarrow d (H; (B C C^{'} B^{'})) = \frac{\sqrt{3}}{9} a \Rightarrow d (A A^{'}; B C) = \frac{\sqrt{3} a}{3}

Đáp án B.

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông tại B với AB=a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ lên mặt phẳng (ABC) là...