Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều và $A'A=A'B=A'C.$ Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}$ và khoảng cách giữa đường thẳng $AA'$ và mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ bằng 1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A. $\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$.
B. $\dfrac{16\sqrt{3}}{27}$.
C. $\dfrac{16\sqrt{3}}{9}$.
D. $\dfrac{16\sqrt{3}}{18}$.
* Gọi $H$ là trung điểm $BC,O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Vì $A'A=A'B=A'C$ nên hình chiếu của $A'$ lên $\left( ABC \right)$ là điểm $O$ hay $A'O\bot \left( ABC \right).$
Gọi $E$ là điểm sao cho $BCAE$ là hình bình hành.
$\Leftrightarrow d\left( AA';\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( \left( AA'E \right);\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( H;\left( AA'E \right) \right).$
* Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ lên $AA'.$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& A'O\bot AE \\
& A'O\bot AE \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( AA'O \right)\bot AE\Rightarrow OK\bot AE$
$\Rightarrow OK\bot \left( AA'E \right).$
* Ta có: $\dfrac{d\left( O;\left( A'AE \right) \right)}{d\left( H;\left( A'AE \right) \right)}=\dfrac{OK}{d\left( H;\left( A'AE \right) \right)}=\dfrac{AO}{AH}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow OK=\dfrac{2}{3}.$
* Góc giữa $AA'$ và $\left( ABC \right)$ là góc giữa $AA'$ và $AO$ bằng ${{60}^{0}}.$
$\Rightarrow AO=\dfrac{OK}{\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{4}{3\sqrt{3}}=\dfrac{AB\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AB=\dfrac{4}{3}.$
* $A'O=AO.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{4}{3}.$
Vậy $V=A'O.{{S}_{ABC}}=\dfrac{4}{3}.\dfrac{{{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{16\sqrt{3}}{27}.$
A. $\dfrac{4\sqrt{3}}{9}$.
B. $\dfrac{16\sqrt{3}}{27}$.
C. $\dfrac{16\sqrt{3}}{9}$.
D. $\dfrac{16\sqrt{3}}{18}$.
* Gọi $H$ là trung điểm $BC,O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Vì $A'A=A'B=A'C$ nên hình chiếu của $A'$ lên $\left( ABC \right)$ là điểm $O$ hay $A'O\bot \left( ABC \right).$
Gọi $E$ là điểm sao cho $BCAE$ là hình bình hành.
$\Leftrightarrow d\left( AA';\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( \left( AA'E \right);\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( H;\left( AA'E \right) \right).$
* Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ lên $AA'.$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& A'O\bot AE \\
& A'O\bot AE \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( AA'O \right)\bot AE\Rightarrow OK\bot AE$
$\Rightarrow OK\bot \left( AA'E \right).$
* Ta có: $\dfrac{d\left( O;\left( A'AE \right) \right)}{d\left( H;\left( A'AE \right) \right)}=\dfrac{OK}{d\left( H;\left( A'AE \right) \right)}=\dfrac{AO}{AH}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow OK=\dfrac{2}{3}.$
* Góc giữa $AA'$ và $\left( ABC \right)$ là góc giữa $AA'$ và $AO$ bằng ${{60}^{0}}.$
$\Rightarrow AO=\dfrac{OK}{\sin {{60}^{0}}}=\dfrac{4}{3\sqrt{3}}=\dfrac{AB\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AB=\dfrac{4}{3}.$
* $A'O=AO.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{4}{3}.$
Vậy $V=A'O.{{S}_{ABC}}=\dfrac{4}{3}.\dfrac{{{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{16\sqrt{3}}{27}.$
Đáp án B.