Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều và $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C.$ Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc ${60}^0$ và khoảng...

* Gọi $H$ là trung điểm $BC,O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Vì $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C$ nên hình chiếu của $A^{\prime }$ lên $\left(ABC\right)$ là điểm $O$ hay $A^{\prime }O\mathrm{\perp }\left(ABC\right).$
Gọi $E$ là điểm sao cho $BCAE$ là hình bình hành.
$\iff d(A{A}^{\prime };\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right))=d(\left(A{A}^{\prime }E\right);\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right))=d(H;\left(A{A}^{\prime }E\right)).$
* Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ lên $A{A}^{\prime }.$
Vì $\{\begin{array}{rl}& A^{\prime }O\mathrm{\perp }AE\\ & A^{\prime }O\mathrm{\perp }AE\end{array}\Rightarrow \left(A{A}^{\prime }O\right)\mathrm{\perp }AE\Rightarrow OK\mathrm{\perp }AE$
$\Rightarrow OK\mathrm{\perp }\left(A{A}^{\prime }E\right).$
* Ta có: ${\displaystyle \frac{d(O;\left(A^{\prime }AE\right))}{d(H;\left(A^{\prime }AE\right))}}={\displaystyle \frac{OK}{d(H;\left(A^{\prime }AE\right))}}={\displaystyle \frac{AO}{AH}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\Rightarrow OK={\displaystyle \frac{2}{3}}.$
* Góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $\left(ABC\right)$ là góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $AO$ bằng ${60}^0.$
$\Rightarrow AO={\displaystyle \frac{OK}{\sin {60}^0}}={\displaystyle \frac{4}{3\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{AB\sqrt{3}}{3}}\Rightarrow AB={\displaystyle \frac{4}{3}}.$
* $A^{\prime }O=AO.\tan {60}^0={\displaystyle \frac{4}{3}}.$
Vậy $V=A^{\prime }O.S_{ABC}={\displaystyle \frac{4}{3}}.{\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^2\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{16\sqrt{3}}{27}}.$