Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $\left( ABC \right)$ trùng với tâm $O$ của tam giác $ABC$. Mặt phẳng (P) qua BC và vuông góc với $\text{A{A}'}$ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằng $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}$. Thể tích lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $\text{A{A}'}$.
Khi đó $\left( P \right)\equiv \left( BCH \right)$. Do góc $\widehat{{A}'AM}$ nhọn nên $H$ nằm giữa $\text{A{A}'}$. Thiết diện của lăng trụ cắt bởi $\left( P \right)$ là tam giác $BCH$.
Do $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},AO=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Theo đề bài ${{S}_{BCH}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\Rightarrow \dfrac{1}{2}HM.BC=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\Rightarrow HM=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
$AH=\sqrt{A{{M}^{2}}-H{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{16}}=\dfrac{3a}{4}$
Do hai tam giác ${A}'AO$ và $MAH$ đồng dạng nên $\dfrac{A'O}{AO}=\dfrac{HM}{AH}$ suy ra $A'O=\dfrac{AO.HM}{AH}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\dfrac{4}{3a}=\dfrac{a}{3}$.
Thể tích khối lăng trụ: $V=A'O.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}A'O.AM.BC=\dfrac{1}{2}\dfrac{a}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $\text{A{A}'}$.
Khi đó $\left( P \right)\equiv \left( BCH \right)$. Do góc $\widehat{{A}'AM}$ nhọn nên $H$ nằm giữa $\text{A{A}'}$. Thiết diện của lăng trụ cắt bởi $\left( P \right)$ là tam giác $BCH$.
Do $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},AO=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Theo đề bài ${{S}_{BCH}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\Rightarrow \dfrac{1}{2}HM.BC=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\Rightarrow HM=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
$AH=\sqrt{A{{M}^{2}}-H{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{16}}=\dfrac{3a}{4}$
Do hai tam giác ${A}'AO$ và $MAH$ đồng dạng nên $\dfrac{A'O}{AO}=\dfrac{HM}{AH}$ suy ra $A'O=\dfrac{AO.HM}{AH}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\dfrac{4}{3a}=\dfrac{a}{3}$.
Thể tích khối lăng trụ: $V=A'O.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}A'O.AM.BC=\dfrac{1}{2}\dfrac{a}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
Đáp án A.