Google
Câu hỏi: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$. Hình chiếu vuông góc của ${A}'$ lên mặt đáy trùng với trung điểm của cạnh $BC$. Biết cạnh $A{A}'=a\sqrt{3}$ và tạo với đáy của lăng trụ một góc ${{60}^{0}}$. Tính khoảng cách từ đỉnh ${C}'$ đến mặt phẳng ${A}'BC$ bằng
A. $\dfrac{3a}{4}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{a}{2}.$
D. $\dfrac{2a}{3}.$
Gọi là $I$ trung điểm của cạnh $BC$. Góc tạo bởi $A{A}'$ với đáy của lăng trụ là góc ${A}'AI$ nên góc ${A}'AI$ bằng ${{60}^{0}}$. Gọi ${I}'$ là trung điểm của ${B}'{C}'$
Ta có: ${B}'{C}'\parallel BC\subset \left( {A}'BC \right)$ nên ${{d}_{\left( {C}',\left( {A}'BC \right) \right)}}={{d}_{\left( I,\left( {A}'BC \right) \right)}}$
Ta lại có $\left\{ \begin{aligned}
& {A}'{I}'\bot {A}'I \\
& {A}'{I}'\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'{I}'\bot \left( {A}'BC \right)$
Xét $\Delta A{A}'I$ : $\cos \left( \overset{\wedge }{\mathop{{A}'AI}} \right)=\dfrac{AI}{A{A}'}\Rightarrow AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Từ đó ${{d}_{\left( {C}',\left( {A}'BC \right) \right)}}={{d}_{\left( I,\left( {A}'BC \right) \right)}}={A}'{I}'=AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{3a}{4}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{a}{2}.$
D. $\dfrac{2a}{3}.$
Ta có: ${B}'{C}'\parallel BC\subset \left( {A}'BC \right)$ nên ${{d}_{\left( {C}',\left( {A}'BC \right) \right)}}={{d}_{\left( I,\left( {A}'BC \right) \right)}}$
Ta lại có $\left\{ \begin{aligned}
& {A}'{I}'\bot {A}'I \\
& {A}'{I}'\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'{I}'\bot \left( {A}'BC \right)$
Xét $\Delta A{A}'I$ : $\cos \left( \overset{\wedge }{\mathop{{A}'AI}} \right)=\dfrac{AI}{A{A}'}\Rightarrow AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Từ đó ${{d}_{\left( {C}',\left( {A}'BC \right) \right)}}={{d}_{\left( I,\left( {A}'BC \right) \right)}}={A}'{I}'=AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án B.