Google
Câu hỏi: Cho khối tứ diện đều ${ABCD}$ cạnh ${a}$, gọi ${I , J}$ lần lượt là trung điểm của ${AB , BC}$. Đường thẳng qua ${J}$ và song song với ${DI}$ cắt mặt phẳng ${\left( {ACD} \right)}$ tại ${P}$. Tính thể tích khối tứ diện ${PBCD}$.
A. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}}$.
B. ${\dfrac{{{a^3}}}{4}}$.
C. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}}$.
D. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}}$.
Xét hai mặt phẳng (DIJ) và (ACD) có:
D là điểm chung của hai mặt phẳng $IJ//AC$
Suy ra $\left( ACD \right)\cap \left( IJD \right)=Dy$ với $Dy$ là đường thẳng qua D và song song với $IJ$
Lại có$\left\{ \begin{aligned}
& JP//DI \\
& P\in \left( ACD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& JP\in \left( IDJ \right) \\
& P\in \left( ACD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P\in Dy$
Tứ giác $DIJP$ có các cặp cạnh đối song song nên $DIJP$ là hình bình hành.
Suy ra DJ cắt IP tại trung điểm $O$ của mỗi đường.
Suy ra ${{V}_{P.BCD}}={{V}_{I.BCD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{A.BCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
A. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}}$.
B. ${\dfrac{{{a^3}}}{4}}$.
C. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}}$.
D. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}}$.
Xét hai mặt phẳng (DIJ) và (ACD) có:
D là điểm chung của hai mặt phẳng $IJ//AC$
Suy ra $\left( ACD \right)\cap \left( IJD \right)=Dy$ với $Dy$ là đường thẳng qua D và song song với $IJ$
Lại có$\left\{ \begin{aligned}
& JP//DI \\
& P\in \left( ACD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& JP\in \left( IDJ \right) \\
& P\in \left( ACD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P\in Dy$
Tứ giác $DIJP$ có các cặp cạnh đối song song nên $DIJP$ là hình bình hành.
Suy ra DJ cắt IP tại trung điểm $O$ của mỗi đường.
Suy ra ${{V}_{P.BCD}}={{V}_{I.BCD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{A.BCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
Đáp án C.