Google
Câu hỏi: Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AC=2CD=DB=2a$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ trên đường thẳng $CD$ sao cho $H,C,D,K$ theo thứ tự cách đều. Biết góc tạo bởi $AH$ và $BK$ bằng $60{}^\circ $. Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Ta có: $AH=\sqrt{A{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=a\sqrt{3}$ và $BK=\sqrt{B{{D}^{2}}-D{{K}^{2}}}=a\sqrt{3}$.
Ta có: $\left. \begin{matrix}
AH\bot HK \\
BK\bot HK \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow d\left( AH;BK \right)=HK=3a$
Ta có: ${{V}_{ABHK}}=\dfrac{1}{6}AH.BK\sin \left( AH,BK \right)d\left( AH,BK \right)=\dfrac{1}{6}a\sqrt{3}.a\sqrt{3}\sin 60{}^\circ .3a=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Ta có: $\dfrac{{{V}_{ABHK}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{\dfrac{1}{6}AB.HK\sin \left( AB,HK \right)d\left( AB,HK \right)}{\dfrac{1}{6}AB.CD\sin \left( AB,CD \right)d\left( AB,CD \right)}=\dfrac{HK}{CD}=3\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Ta có: $\left. \begin{matrix}
AH\bot HK \\
BK\bot HK \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow d\left( AH;BK \right)=HK=3a$
Ta có: ${{V}_{ABHK}}=\dfrac{1}{6}AH.BK\sin \left( AH,BK \right)d\left( AH,BK \right)=\dfrac{1}{6}a\sqrt{3}.a\sqrt{3}\sin 60{}^\circ .3a=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Ta có: $\dfrac{{{V}_{ABHK}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{\dfrac{1}{6}AB.HK\sin \left( AB,HK \right)d\left( AB,HK \right)}{\dfrac{1}{6}AB.CD\sin \left( AB,CD \right)d\left( AB,CD \right)}=\dfrac{HK}{CD}=3\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án D.