Google
Câu hỏi: Cho khối trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ tạo với đáy một góc $30{}^\circ $ và tam giác ${A}'BC$ có diện tích bằng $8{{a}^{2}}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
A. $V=8\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $V=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $V=64\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $V=16\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Gọi $H$ là trung điểm $BC$ $\Rightarrow AH\bot BC$.
Ta lại có: $\left. \begin{aligned}
& A{A}'\bot \left( ABC \right) \\
& BC\subset \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right\} $ $ \Rightarrow BC\bot A{A}'$
$\Rightarrow $ góc giữa $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ là $30{}^\circ $.
Gọi $BC=2x$, theo đề ta có:$\left\{ \begin{aligned}
& AH=x\sqrt{3} \\
& A{A}'=AH.\tan \left( 30{}^\circ \right)=x \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow {A}'H=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{H}^{2}}}=2x$.
${{S}_{\Delta {A}'BC}}=8{{a}^{2}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}BC.{A}'H=8{{a}^{2}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}.2x.2x=8{{a}^{2}}$ $\Rightarrow x=2a$.
Vậy thể tích cần tìm: $V={{S}_{\Delta ABC}}.A{A}'$ $=\left( {{\left( 4a \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right).2a=8\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
A. $V=8\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $V=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $V=64\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
D. $V=16\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Ta lại có: $\left. \begin{aligned}
& A{A}'\bot \left( ABC \right) \\
& BC\subset \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right\} $ $ \Rightarrow BC\bot A{A}'$
$\Rightarrow $ góc giữa $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ là $30{}^\circ $.
Gọi $BC=2x$, theo đề ta có:$\left\{ \begin{aligned}
& AH=x\sqrt{3} \\
& A{A}'=AH.\tan \left( 30{}^\circ \right)=x \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow {A}'H=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{H}^{2}}}=2x$.
${{S}_{\Delta {A}'BC}}=8{{a}^{2}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}BC.{A}'H=8{{a}^{2}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{2}.2x.2x=8{{a}^{2}}$ $\Rightarrow x=2a$.
Vậy thể tích cần tìm: $V={{S}_{\Delta ABC}}.A{A}'$ $=\left( {{\left( 4a \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right).2a=8\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Đáp án A.