Google
Câu hỏi: Cho khối nón đỉnh $S$ có đường cao bằng $3a$. $SA,SB$ là hai đường sinh của khối nón. Khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng $a$ và diện tích tam giác $SAB$ bằng $3{{a}^{2}}$. Tính thể tích khối nón.
A. $\dfrac{145\pi {{a}^{3}}}{48}$.
B. $\dfrac{145\pi {{a}^{3}}}{72}$.
C. $\dfrac{145\pi {{a}^{3}}}{54}$.
D. $\dfrac{145\pi {{a}^{3}}}{36}$.
Gọi $O$ là hình chiếu của $S$ trên mặt đáy và $I$ là trung điểm $AB$, khi đó:
$SO\bot AB$ và $OI\bot AB$ $\Rightarrow AB\bot \left( SOI \right)$
Kẻ $OH\bot SI$ mà $OH\bot AB\left( AB\bot \left( SOI \right) \right)$ $\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow d\left( O,\left( SAB \right) \right)=OH=a$.
Xét tam giác $SOI$ vuông tại $O$, đường $OH$ :
Ta có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Rightarrow OI=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\Rightarrow SI=\dfrac{9a\sqrt{2}}{4}$
Ta có $AB=\dfrac{2{{S}_{SAB}}}{SI}=\dfrac{2.3{{a}^{2}}}{\dfrac{9a\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{4a\sqrt{2}}{3}\Rightarrow OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( \dfrac{4a\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{290}}{120}$
Khi đó $V=\dfrac{1}{3}\pi SO.O{{A}^{2}}=\dfrac{145{{a}^{3}}}{72}\pi $.
A. $\dfrac{145\pi {{a}^{3}}}{48}$.
B. $\dfrac{145\pi {{a}^{3}}}{72}$.
C. $\dfrac{145\pi {{a}^{3}}}{54}$.
D. $\dfrac{145\pi {{a}^{3}}}{36}$.
$SO\bot AB$ và $OI\bot AB$ $\Rightarrow AB\bot \left( SOI \right)$
Kẻ $OH\bot SI$ mà $OH\bot AB\left( AB\bot \left( SOI \right) \right)$ $\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow d\left( O,\left( SAB \right) \right)=OH=a$.
Xét tam giác $SOI$ vuông tại $O$, đường $OH$ :
Ta có $\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{9{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Rightarrow OI=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\Rightarrow SI=\dfrac{9a\sqrt{2}}{4}$
Ta có $AB=\dfrac{2{{S}_{SAB}}}{SI}=\dfrac{2.3{{a}^{2}}}{\dfrac{9a\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{4a\sqrt{2}}{3}\Rightarrow OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( \dfrac{4a\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{290}}{120}$
Khi đó $V=\dfrac{1}{3}\pi SO.O{{A}^{2}}=\dfrac{145{{a}^{3}}}{72}\pi $.
Đáp án B.