Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC. A'B'C'$ có $AB=a$, $\text{AA}'=a\sqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng $A'B$ và mặt phẳng $\left(BCC'B' \right)$.
A. ${{60}^{0}}$.
B. ${{30}^{0}}$.
C. ${{45}^{0}}$.
D. ${{90}^{0}}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $B'C'$ $\Rightarrow A'H\bot B'C'$. Lại có $A'H\bot BB'$ nên $A'H\bot \left( BCC'B' \right)$.
Suy ra $HB$ là hình chiếu của $A'B$ trên mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$, suy ra góc giữa đường thẳng $A'B$ và mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ là góc giữa đường thẳng $A'B$ và đường thẳng $HB$ và bằng góc $\widehat{A'BH}$.
Xét tam giác $A'HB$ vuông tại $H$ ta có $A'B=\sqrt{A'{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$ và $A'H=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, do đó
$\sin \widehat{A'BH}=\dfrac{A'H}{A'B}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}$ hay $\widehat{A'BH}={{30}^{0}}$.
Vậy góc giữa đường thẳng $A'B$ và mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ bằng ${{30}^{0}}$.
A. ${{60}^{0}}$.
B. ${{30}^{0}}$.
C. ${{45}^{0}}$.
D. ${{90}^{0}}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $B'C'$ $\Rightarrow A'H\bot B'C'$. Lại có $A'H\bot BB'$ nên $A'H\bot \left( BCC'B' \right)$.
Suy ra $HB$ là hình chiếu của $A'B$ trên mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$, suy ra góc giữa đường thẳng $A'B$ và mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ là góc giữa đường thẳng $A'B$ và đường thẳng $HB$ và bằng góc $\widehat{A'BH}$.
Xét tam giác $A'HB$ vuông tại $H$ ta có $A'B=\sqrt{A'{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}$ và $A'H=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, do đó
$\sin \widehat{A'BH}=\dfrac{A'H}{A'B}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2a\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}$ hay $\widehat{A'BH}={{30}^{0}}$.
Vậy góc giữa đường thẳng $A'B$ và mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$ bằng ${{30}^{0}}$.
Đáp án B.