Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy là $2a$ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ bằng a. Tính...

Phương pháp giải:
- Xác định góc từ điểm $A$ đến $\left( {A}'BC \right)$.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính ${A}'A$.
- Tính thể tích ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'A.{{S}_{\Delta ABC}}$.
Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BC\bot AM \\
BC\bot A{A}' \\
\end{array} \right.\Rightarrow BC\bot \left( {A}'BC \right)$.
Trong $\left( {A}'BC \right)$ kẻ $AH\bot {A}'M\left( H\in {A}'M \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AH\bot BC \\
AH\bot {A}'M \\
\end{array} \right.\Rightarrow AH\bot \left( {A}'BC \right)$
$\Rightarrow d\left( A;\left( {A}'BC \right) \right)=AH=a$.
Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$ nên $AM=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ và ${{S}_{\Delta ABC}}={{\left( 2a \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}={{a}^{2}}\sqrt{3}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $A{A}'M$ ta có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{{A}'{{A}^{2}}}=\dfrac{2}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow {A}'A=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'A.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$