Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh bên bằng $2a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{8\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{8\sqrt{3}}{27}{{a}^{3}}$.
D. $8\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Vì $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là khối lăng trụ tam giác đều nên $A{A}'\bot \left( ABC \right)$ và $\Delta ABC$ đều.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AI\bot BC \\
& A{A}'\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'I\bot BC$.
Khi đó, $\left\{ \begin{aligned}
& \left( {A}'BC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& AI\bot BC \\
& {A}'I\bot BC \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \left( \widehat{\left( {A}'BC \right),\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{AI,{A}'I} \right)=\widehat{AI{A}'}=30{}^\circ $.
Trong tam giác vuông $AI{A}'$, ta có $AI=\dfrac{A{A}'}{\tan 30{}^\circ }=2a\sqrt{3}$.
Vì $\Delta ABC$ đều nên $AI=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AB=\dfrac{2}{\sqrt{3}}AI=4a$.
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=2a.\dfrac{{{\left( 4a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=8\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
A. $\dfrac{8\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{8\sqrt{3}}{27}{{a}^{3}}$.
D. $8\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AI\bot BC \\
& A{A}'\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'I\bot BC$.
Khi đó, $\left\{ \begin{aligned}
& \left( {A}'BC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& AI\bot BC \\
& {A}'I\bot BC \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \left( \widehat{\left( {A}'BC \right),\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{AI,{A}'I} \right)=\widehat{AI{A}'}=30{}^\circ $.
Trong tam giác vuông $AI{A}'$, ta có $AI=\dfrac{A{A}'}{\tan 30{}^\circ }=2a\sqrt{3}$.
Vì $\Delta ABC$ đều nên $AI=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AB=\dfrac{2}{\sqrt{3}}AI=4a$.
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $V=A{A}'.{{S}_{\Delta ABC}}=2a.\dfrac{{{\left( 4a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=8\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Đáp án D.