Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=a$, góc giữa đường thẳng ${A}'B$ và mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3}{4}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{12}{{a}^{3}}$.
Gọi $M$ là trung điểm của ${B}'{C}'$
Ta chứng minh được ${A}'M\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$
$\Rightarrow \left( {A}'B,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\left( {A}'B,BM \right)=\widehat{{A}'BM}$ (vì $\Delta {A}'BM$ vuông tại $M$ )
$\Rightarrow \widehat{{A}'BM}=30{}^\circ $
Ta có:
${A}'M=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
${A}'B=\dfrac{{A}'M}{\sin 30{}^\circ }=a\sqrt{3}$
$A{A}'=\sqrt{{A}'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{4}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{3}{4}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{12}{{a}^{3}}$.
Ta chứng minh được ${A}'M\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$
$\Rightarrow \left( {A}'B,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\left( {A}'B,BM \right)=\widehat{{A}'BM}$ (vì $\Delta {A}'BM$ vuông tại $M$ )
$\Rightarrow \widehat{{A}'BM}=30{}^\circ $
Ta có:
${A}'M=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
${A}'B=\dfrac{{A}'M}{\sin 30{}^\circ }=a\sqrt{3}$
$A{A}'=\sqrt{{A}'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
Đáp án B.