Cho khối lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ gọi $I, J, K$ lần lượt là trung điểm của $A B, A A^{'}, B^{'} C^{'} .$ Mặt phẳng $(I J K)$ chia khối lăng...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

gọi

I, J, K

lần lượt là trung điểm của

A B, A A^{'}, B^{'} C^{'} .

Mặt phẳng

(I J K)

chia khối lăng trụ thành 2 phần. Gọi

V_{1}

là thể tích phần chứa điểm

B^{'}, V

là thể tích khối lăng trụ. Tính

\frac{V_{1}}{V} .

A.

\frac{49}{144} .

B.

\frac{95}{144} .

C.

\frac{1}{2} .

D.

\frac{46}{95} .

Ta thấy thiết diện của

(I J K)

và lăng trụ như hình vẽ.
Ta có

I B / / E B^{'} \Rightarrow \frac{F I}{F E} = \frac{F B}{F B^{'}} = \frac{F H}{F K} = \frac{I B}{E B^{'}} = \frac{1}{3} .

Ba điểm

E, G, K

thẳng hàng nên

\frac{E A^{'}}{E B^{'}} . \frac{K B^{'}}{K C^{'}} . \frac{G C^{'}}{G A^{'}} = 1 \Rightarrow G C^{'} = 3 G A^{'} .

Ba điểm

A^{'}, G, C^{'}

thẳng hàng nên

\frac{A^{'} E}{A^{'} B^{'}} . \frac{C^{'} B^{'}}{C^{'} K} . \frac{G K}{G E} = 1 \Rightarrow G K = G E .

Ta có

\frac{S_{E B^{'} K}}{S_{A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{E B^{'} . D (K, A^{'} B^{'})}{A^{'} B^{'} . D (C^{'}, A^{'} B^{'})} = \frac{3}{4}

\Rightarrow V_{F . E B^{'} K} = \frac{1}{3} S_{E B^{'} K} . D (F, (A^{'} B^{'} C^{'})) = \frac{1}{3} . \frac{3}{4} S_{A^{'} B^{'} C^{'}} . \frac{3}{2} d (B, (A^{'} B^{'} C^{'})) = \frac{3 V}{8} .

\frac{V_{F I B H}}{V_{F E B^{'} K}} = {(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{27} \Rightarrow V_{F I B H} = \frac{1}{27} . \frac{3 V}{8} = \frac{V}{72} .

\frac{V_{E J A^{'} G}}{V_{F E B^{'} K}} = \frac{E A^{'}}{E B^{'}} . \frac{E J}{E F} . \frac{E G}{E K} = \frac{1}{18} \Rightarrow V_{F I B H} = \frac{1}{18} . \frac{3 V}{8} = \frac{V}{48} .

\Rightarrow V_{1} = \frac{3 V}{8} - \frac{V}{48} - \frac{V}{72} = \frac{49 V}{144} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V} = \frac{49}{144} .

Đáp án A.

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của AB,AA′,B′C′. Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng...