Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC. A'B'C'$ gọi $I, J, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, AA', B'C'.$ Mặt phẳng $\left(IJK \right)$ chia khối lăng trụ thành 2 phần. Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích phần chứa điểm $B', V$ là thể tích khối lăng trụ. Tính $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}.$
A. $\dfrac{49}{144}.$
B. $\dfrac{95}{144}.$
C. $\dfrac{1}{2}.$
D. $\dfrac{46}{95}.$
Ta thấy thiết diện của $\left(IJK \right)$ và lăng trụ như hình vẽ.
Ta có $IB//EB'\Rightarrow \dfrac{FI}{FE}=\dfrac{FB}{FB'}=\dfrac{FH}{FK}=\dfrac{IB}{EB'}=\dfrac{1}{3}.$
Ba điểm $E, G, K$ thẳng hàng nên $\dfrac{EA'}{EB'}.\dfrac{KB'}{KC'}.\dfrac{GC'}{GA'}=1\Rightarrow GC'=3GA'.$
Ba điểm $A', G, C'$ thẳng hàng nên $\dfrac{A'E}{A'B'}.\dfrac{C'B'}{C'K}.\dfrac{GK}{GE}=1\Rightarrow GK=GE.$
Ta có $\dfrac{{{S}_{EB'K}}}{{{S}_{A'B'C'}}}=\dfrac{EB'. D\left(K, A'B' \right)}{A'B'. D\left(C', A'B' \right)}=\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow {{V}_{F. EB'K}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{EB'K}}. D\left(F,\left( A'B'C' \right) \right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{4}{{S}_{A'B'C'}}.\dfrac{3}{2}d\left(B,\left( A'B'C' \right) \right)=\dfrac{3V}{8}.$
$\dfrac{{{V}_{FIBH}}}{{{V}_{FEB'K}}}={{\left(\dfrac{1}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow {{V}_{FIBH}}=\dfrac{1}{27}.\dfrac{3V}{8}=\dfrac{V}{72}.$
$\dfrac{{{V}_{EJA'G}}}{{{V}_{FEB'K}}}=\dfrac{EA'}{EB'}.\dfrac{EJ}{EF}.\dfrac{EG}{EK}=\dfrac{1}{18}\Rightarrow {{V}_{FIBH}}=\dfrac{1}{18}.\dfrac{3V}{8}=\dfrac{V}{48}.$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{3V}{8}-\dfrac{V}{48}-\dfrac{V}{72}=\dfrac{49V}{144}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{49}{144}.$
A. $\dfrac{49}{144}.$
B. $\dfrac{95}{144}.$
C. $\dfrac{1}{2}.$
D. $\dfrac{46}{95}.$
Ta thấy thiết diện của $\left(IJK \right)$ và lăng trụ như hình vẽ.
Ta có $IB//EB'\Rightarrow \dfrac{FI}{FE}=\dfrac{FB}{FB'}=\dfrac{FH}{FK}=\dfrac{IB}{EB'}=\dfrac{1}{3}.$
Ba điểm $E, G, K$ thẳng hàng nên $\dfrac{EA'}{EB'}.\dfrac{KB'}{KC'}.\dfrac{GC'}{GA'}=1\Rightarrow GC'=3GA'.$
Ba điểm $A', G, C'$ thẳng hàng nên $\dfrac{A'E}{A'B'}.\dfrac{C'B'}{C'K}.\dfrac{GK}{GE}=1\Rightarrow GK=GE.$
Ta có $\dfrac{{{S}_{EB'K}}}{{{S}_{A'B'C'}}}=\dfrac{EB'. D\left(K, A'B' \right)}{A'B'. D\left(C', A'B' \right)}=\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow {{V}_{F. EB'K}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{EB'K}}. D\left(F,\left( A'B'C' \right) \right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{4}{{S}_{A'B'C'}}.\dfrac{3}{2}d\left(B,\left( A'B'C' \right) \right)=\dfrac{3V}{8}.$
$\dfrac{{{V}_{FIBH}}}{{{V}_{FEB'K}}}={{\left(\dfrac{1}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow {{V}_{FIBH}}=\dfrac{1}{27}.\dfrac{3V}{8}=\dfrac{V}{72}.$
$\dfrac{{{V}_{EJA'G}}}{{{V}_{FEB'K}}}=\dfrac{EA'}{EB'}.\dfrac{EJ}{EF}.\dfrac{EG}{EK}=\dfrac{1}{18}\Rightarrow {{V}_{FIBH}}=\dfrac{1}{18}.\dfrac{3V}{8}=\dfrac{V}{48}.$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{3V}{8}-\dfrac{V}{48}-\dfrac{V}{72}=\dfrac{49V}{144}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{49}{144}.$
Đáp án A.