Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $A$ thoả mãn $AB=a, AC=a\sqrt{3}$, đồng thời $A'A, A'B, A'C$ cùng tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}$. Gọi $M, N, H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A'B', A'C', BC$. Tính thể tích khối tứ diện $MNAH$.
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
Gọi $O$ là hình chiếu của $A'$ lên mp $\left( ABC \right)$, khi đó các tam giác $\Delta A'OA, \Delta A'OB, \Delta A'OC$ là các tam giác vuông tại $O$ và bằng nhau. Khi đó $OA=OB=OC$ $\Rightarrow O\equiv H$ hay $A'H\bot \left( ABC \right)$
Ta có $BC=2a\Rightarrow HB=a\Rightarrow A'H=HB.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$.
Do đó ${{V}_{A'.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.A'H=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{3}.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
Gọi $K$ là giao điểm của $A'C$ và $NA$, $I$ là giao điểm của $A'B$ và $MA$, $L$ là giao điểm của $KI$ và $A'H$. Ta có $\dfrac{KA'}{KC}=\dfrac{IA'}{IB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow KI\parallel BC$ và $\dfrac{LA'}{LH}=\dfrac{1}{2}$.
${{V}_{MNAH}}={{V}_{H.AMN}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{AMN}}.d\left( H, \left( AMN \right) \right)=\dfrac{1}{3}{{S}_{AMN}}.2d\left( A'; \left( AMN \right) \right)=2.{{V}_{A'.AMN}}=2{{V}_{A.A'MN}}$
Mặt khác, ${{V}_{A.A'MN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{A'.ABC}}$ (vì khối hai khối tứ diện có cùng chiều cao nhưng ${{S}_{A'MN}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABC}}$ )
Do đó ${{V}_{MNAH}}=2.\dfrac{1}{4}{{V}_{A'.ABC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{A'.ABC}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{{{a}^{3}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$.
Ta có $BC=2a\Rightarrow HB=a\Rightarrow A'H=HB.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$.
Do đó ${{V}_{A'.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABC}}.A'H=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{3}.a\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
Gọi $K$ là giao điểm của $A'C$ và $NA$, $I$ là giao điểm của $A'B$ và $MA$, $L$ là giao điểm của $KI$ và $A'H$. Ta có $\dfrac{KA'}{KC}=\dfrac{IA'}{IB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow KI\parallel BC$ và $\dfrac{LA'}{LH}=\dfrac{1}{2}$.
${{V}_{MNAH}}={{V}_{H.AMN}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{AMN}}.d\left( H, \left( AMN \right) \right)=\dfrac{1}{3}{{S}_{AMN}}.2d\left( A'; \left( AMN \right) \right)=2.{{V}_{A'.AMN}}=2{{V}_{A.A'MN}}$
Mặt khác, ${{V}_{A.A'MN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{A'.ABC}}$ (vì khối hai khối tứ diện có cùng chiều cao nhưng ${{S}_{A'MN}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ABC}}$ )
Do đó ${{V}_{MNAH}}=2.\dfrac{1}{4}{{V}_{A'.ABC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{A'.ABC}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{{{a}^{3}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
Đáp án C.