Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có cạnh bên $AA'=2a$ và tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng ${{60}^{0}},$ diện tích tam giác $ABC$ bằng ${{a}^{2}}.$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
B. ${{a}^{3}}$
C. $\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
B. ${{a}^{3}}$
C. $\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
Phương pháp:
- Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $\left( ABC \right)$. Xác định góc giữa $AA'$ và $\left( ABC \right)$ là góc giữa $AA'$ và hình chiếu của $AA'$ lên $\left( ABC \right)$.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $A'H.$
- Tính ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'H.{{S}_{\Delta ABC}}.$
Cách giải:
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $\left( ABC \right)\Rightarrow AH$ là hình chiếu vuông góc của $AA'$ lên $\left( ABC \right)$.
$\Rightarrow \angle \left( AA';\left( ABC \right) \right)=\angle \left( AA';AH \right)=\angle A'AH={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $A'AH$ có $A'H=AA'.\sin {{60}^{0}}=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'H.{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{3}.{{a}^{2}}=\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
- Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $\left( ABC \right)$. Xác định góc giữa $AA'$ và $\left( ABC \right)$ là góc giữa $AA'$ và hình chiếu của $AA'$ lên $\left( ABC \right)$.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $A'H.$
- Tính ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'H.{{S}_{\Delta ABC}}.$
Cách giải:
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $\left( ABC \right)\Rightarrow AH$ là hình chiếu vuông góc của $AA'$ lên $\left( ABC \right)$.
$\Rightarrow \angle \left( AA';\left( ABC \right) \right)=\angle \left( AA';AH \right)=\angle A'AH={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $A'AH$ có $A'H=AA'.\sin {{60}^{0}}=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$
Vậy ${{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'H.{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{3}.{{a}^{2}}=\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
Đáp án C.