Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích $V$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh ${A}'{B}'; BC; C{C}'$. Mặt phẳng $\left( MNP \right)$ chia khối lăng trụ đã cho thành $2$ phần, phần chứa điểm $B$ có thể tích là ${{V}_{1}}$. Tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}$ bằng
A. $\dfrac{61}{144}$.
B. $\dfrac{37}{144}$.
C. $\dfrac{49}{144}$.
D. $\dfrac{25}{144}$.
Gọi $S$ và $h$ lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'\Rightarrow V=Sh$.
Gọi $NP\cap B{B}'=E, NP\cap {B}'{C}'=F, MF\cap {A}'{C}'=Q, ME\cap AB=R$
Suy ra mặt phẳng $\left( MNP \right)$ cắt khối lăng trụ theo thiết diện là $MRNPQ$.
Ta có $BEP{C}'$ là hình bình hành $\Rightarrow BE=P{C}'=\dfrac{1}{2}C{C}'=\dfrac{1}{2}B{B}'$, tương tự ta có $BNF{C}'$ là hình bình hành $\Rightarrow {C}'F=BN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}{B}'{C}'$.
+) ${{S}_{M{B}'F}}=\dfrac{1}{2}.{B}'M.{B}'F.\sin \widehat{M{B}'F}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}.{A}'{B}'.{B}'{C}'.\sin \widehat{{A}'{B}'{C}'}=\dfrac{3}{4}S$
+) $d\left( E,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( B,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=\dfrac{3}{2}h$
$\Rightarrow {{V}_{E.{B}'MF}}=\dfrac{1}{3}.d\left( E,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right).{{S}_{{B}'MF}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}h.\dfrac{3}{4}S=\dfrac{3}{8}V.$
Lại có $\dfrac{{{V}_{E.BNR}}}{{{V}_{E.{B}'FM}}}={{\left( \dfrac{EB}{E{B}'} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow {{V}_{E.BNR}}=\dfrac{1}{27}.\dfrac{3}{8}V=\dfrac{1}{72}V$
Ta cũng có $\dfrac{{{V}_{F.{C}'PQ}}}{{{V}_{F.{B}'EM}}}=\dfrac{F{C}'}{F{B}'}.\dfrac{FP}{FE}.\dfrac{FQ}{FM}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{18}\Rightarrow {{V}_{F.{C}'PQ}}=\dfrac{1}{18}.\dfrac{3}{8}V=\dfrac{1}{48}V$.
Suy ra ${{V}_{1}}={{V}_{E.{B}'MF}}-\left( {{V}_{{{V}_{E.BNR}}}}+{{V}_{F.{C}'PQ}} \right)=\dfrac{49}{144}V$.
Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{49}{144}$.
A. $\dfrac{61}{144}$.
B. $\dfrac{37}{144}$.
C. $\dfrac{49}{144}$.
D. $\dfrac{25}{144}$.
Gọi $NP\cap B{B}'=E, NP\cap {B}'{C}'=F, MF\cap {A}'{C}'=Q, ME\cap AB=R$
Suy ra mặt phẳng $\left( MNP \right)$ cắt khối lăng trụ theo thiết diện là $MRNPQ$.
Ta có $BEP{C}'$ là hình bình hành $\Rightarrow BE=P{C}'=\dfrac{1}{2}C{C}'=\dfrac{1}{2}B{B}'$, tương tự ta có $BNF{C}'$ là hình bình hành $\Rightarrow {C}'F=BN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}{B}'{C}'$.
+) ${{S}_{M{B}'F}}=\dfrac{1}{2}.{B}'M.{B}'F.\sin \widehat{M{B}'F}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}.{A}'{B}'.{B}'{C}'.\sin \widehat{{A}'{B}'{C}'}=\dfrac{3}{4}S$
+) $d\left( E,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( B,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right)=\dfrac{3}{2}h$
$\Rightarrow {{V}_{E.{B}'MF}}=\dfrac{1}{3}.d\left( E,\left( {A}'{B}'{C}' \right) \right).{{S}_{{B}'MF}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}h.\dfrac{3}{4}S=\dfrac{3}{8}V.$
Lại có $\dfrac{{{V}_{E.BNR}}}{{{V}_{E.{B}'FM}}}={{\left( \dfrac{EB}{E{B}'} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow {{V}_{E.BNR}}=\dfrac{1}{27}.\dfrac{3}{8}V=\dfrac{1}{72}V$
Ta cũng có $\dfrac{{{V}_{F.{C}'PQ}}}{{{V}_{F.{B}'EM}}}=\dfrac{F{C}'}{F{B}'}.\dfrac{FP}{FE}.\dfrac{FQ}{FM}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{18}\Rightarrow {{V}_{F.{C}'PQ}}=\dfrac{1}{18}.\dfrac{3}{8}V=\dfrac{1}{48}V$.
Suy ra ${{V}_{1}}={{V}_{E.{B}'MF}}-\left( {{V}_{{{V}_{E.BNR}}}}+{{V}_{F.{C}'PQ}} \right)=\dfrac{49}{144}V$.
Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{49}{144}$.
Đáp án C.