Google
Câu hỏi: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $C$, $AB=2a$ và góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( ABC' \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A'C'$ và $BC$. Mặt phẳng $\left( AMN \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng
A. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
B. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{6}$.
C. $\dfrac{7\sqrt{6}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
Kẻ $AM$ cắt $CC'$ tại $P$, $PN$ cắt $B'C'$ tại $K$. Do đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( AMN \right)$ với lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ là tứ giác $AMKN$.
Ta có $C'M$ song song và bằng $\dfrac{1}{2}$ $AC$ nên $C'$ là trung điểm của $CP$.
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$. Khi đó góc giữa $\left( ABC' \right)$ và $\left( ABC \right)$ là $\widehat{CEC'}$ bằng ${{60}^{0}}$.
Ta có tam giác $CAB$ vuông cân tại $C$ nên $CA=CB=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow CE=a$.
Do đó $CC'=CE.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$ $\Rightarrow CP=2a\sqrt{3}$, $C'K=\dfrac{1}{2}CN=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
$\Rightarrow {{V}_{P.CAN}}=\dfrac{1}{3}CP.\dfrac{1}{2}.AC.CN=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ ( đơn vị thể tích).
${{V}_{P.C'MK}}=\dfrac{1}{3}.C'P.\dfrac{1}{2}C'K.C'M=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$ ( đơn vị thể tích).
$\Rightarrow {{V}_{CAN.C'MK}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$ ( đơn vị thể tích) .
${{V}_{ABC.A'B'C'}}=CC'.\dfrac{1}{2}AC.CB={{a}^{3}}\sqrt{3}$ ( đơn vị thể tích). $\Rightarrow {{V}_{ABN.A'B'KM}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-{{V}_{ACN.MC'K}}={{a}^{3}}\sqrt{3}-\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}=\dfrac{17{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$ ( đơn vị thể tích).
Do đó thể tích phần nhỏ bằng ${{V}_{CAN.C'MK}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$ ( đơn vị thể tích) .
Ta có $C'M$ song song và bằng $\dfrac{1}{2}$ $AC$ nên $C'$ là trung điểm của $CP$.
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$. Khi đó góc giữa $\left( ABC' \right)$ và $\left( ABC \right)$ là $\widehat{CEC'}$ bằng ${{60}^{0}}$.
Ta có tam giác $CAB$ vuông cân tại $C$ nên $CA=CB=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow CE=a$.
Do đó $CC'=CE.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$ $\Rightarrow CP=2a\sqrt{3}$, $C'K=\dfrac{1}{2}CN=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
$\Rightarrow {{V}_{P.CAN}}=\dfrac{1}{3}CP.\dfrac{1}{2}.AC.CN=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ ( đơn vị thể tích).
${{V}_{P.C'MK}}=\dfrac{1}{3}.C'P.\dfrac{1}{2}C'K.C'M=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$ ( đơn vị thể tích).
$\Rightarrow {{V}_{CAN.C'MK}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$ ( đơn vị thể tích) .
${{V}_{ABC.A'B'C'}}=CC'.\dfrac{1}{2}AC.CB={{a}^{3}}\sqrt{3}$ ( đơn vị thể tích). $\Rightarrow {{V}_{ABN.A'B'KM}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-{{V}_{ACN.MC'K}}={{a}^{3}}\sqrt{3}-\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}=\dfrac{17{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$ ( đơn vị thể tích).
Do đó thể tích phần nhỏ bằng ${{V}_{CAN.C'MK}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$ ( đơn vị thể tích) .
Đáp án A.